置信区间

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计学中的置信区间是什么以及它的用途。您还将找到影响置信区间的因素以及置信区间的计算方式。

什么是置信区间？

在统计学中，置信区间是一个给出近似值的区间，在这些值之间，总体参数的值与一定的置信水平相关联。最常见的置信区间的置信水平为 95% 或 99%。

例如，如果置信水平为 95% 的总体平均值的置信区间为 (3.7)，则这意味着所研究总体的平均值将在 3 到 7 之间，概率为 95%。

因此，置信区间用于估计总体参数所在的两个值。通常，总体参数的值是未知的，因此根据样本中的数据计算置信区间以对总体参数进行估计。

影响置信区间的因素

一旦我们了解了置信区间的定义，我们就会了解置信区间取决于哪些因素，以便更好地理解这个概念。

样本大小：研究的观测值数量影响置信区间的精度，因为我们拥有的数据越多，可以估计的值就越多。一般来说，样本量越大，置信区间的宽度越小。
误差幅度：允许误差越大，置信区间越大，因此参数的真实值越有可能落在置信区间内。然而，误差幅度会降低置信区间的精度。
置信水平：总体统计估计值位于置信区间内的概率。通常，区间的置信水平表示为 1-α 并表示为百分比。高置信水平会增加真实值位于区间界限之间的概率，但也会增加区间的宽度。
估计参数：置信区间取决于要近似的参数。事实上，用于计算置信区间的公式取决于近似参数。

如何计算置信区间

下面列出了用于计算每种类型置信区间的公式，因为根据我们是否要确定均值、方差或比例的置信区间，要使用的公式是不同的。

平均值的置信区间

从输入变量的过程如下完成这一事实开始：

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

平均值的置信区间是通过在样本平均值中加上和减去 Z _α/2的值乘以标准差 (σ) 再除以样本大小 (n) 的平方根来计算的。因此，均值置信区间的计算公式为：

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

对于大样本量和 95% 置信水平，临界值为 Z _α/2 = 1.96；对于 99% 置信水平，临界值为 Z _α/2 = 2.576。

当总体方差已知时，使用上述公式。但是，如果总体方差未知（这是最常见的情况），则使用以下公式计算平均值的置信区间：

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

金子：

$\overline{x}$

是样本均值。
$t_{\alpha/2}$

是 n-1 个自由度的 Student t 分布的值，概率为 α/2。
$s$

是样本标准差。
$n$

是样本大小。

置信区间

➤请参阅：计算平均值置信区间的示例

方差的置信区间

为了计算总体方差的置信区间，使用卡方分布。更具体地说，计算方差置信区间的公式为：

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

金子：

$n$

是样本大小。
$s$

是样本标准差。
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

是具有 n-1 个自由度且概率小于 α/2 的卡方分布的值。
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

是具有 n-1 个自由度、概率大于 1-α/2 的卡方分布的值。

➤请参阅：计算方差置信区间的示例

比例的置信区间

比例的置信区间是通过从样本比例中添加和减去 Z _α/2的值乘以样本比例的平方根 (p) 乘以 1-p 再除以样本大小 (n) 来计算的。因此，计算比例置信区间的公式为：

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

金子：

$p$

是样本比例。
$n$

是样本大小。
$Z_{\alpha/2}$

是对应于 α/2 概率的标准正态分布的分位数。对于大样本量和 95% 置信水平，它通常接近 1.96；对于 99% 置信水平，它通常接近 2.576。

➤请参阅：计算比例置信区间的示例

关于作者

本杰明·安德森博

大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多

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