如何计算任何 t 检验的自由度

在统计学中，常用的t检验有3种：

单样本 t 检验：用于将总体平均值与某一值进行比较。

双样本 t 检验：用于比较两个总体平均值。

配对样本 t 检验：当一个样本中的每个观察值可以与另一个样本中的观察值相关时，用于比较两个总体的平均值。

运行每个 t 检验时，您需要计算检验统计量和相应的自由度。

以下是计算每种测试类型的自由度的方法：

单样本 t 检验：df = n-1，其中n是观测值总数。

双样本 t 检验： df = n ₁ + n ₂ – 2其中n ₁ 、 n ₂是每个样本的总观测值。

配对样本 t 检验：n-1，其中n是配对总数。

以下示例展示了如何在实践中计算每种类型 t 检验的自由度。

示例 1：单样本 t 检验的自由度

假设我们想知道某种乌龟的平均重量是否等于 310 磅。

假设我们随机收集海龟样本，其中包含以下信息：

• 样本量 n = 40
• 平均样本重量x = 300
• 样本标准差 s = 18.5

我们将使用以下假设进行单样本 t 检验：

• H ₀ : μ = 310（总体平均值等于 310 本书）
• H _A : μ ≠ 310（总体平均值不等于 310 磅）

首先，我们将计算检验统计量：

t = ( x – μ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18.5/ √40 ) = -3.4187

接下来，我们将计算自由度：

df = n -1 = 40 – 1 = 39

最后，我们将检验统计量和自由度插入P 值 T 分数计算器，发现 p 值为0.00149 。

由于该 p 值低于显着性水平 α = 0.05，因此我们拒绝原假设。我们有足够的证据表明这种海龟的平均体重不等于310磅。

示例 2：双样本 t 检验的自由度

假设我们想知道两种不同种类的海龟的平均体重是否相等。

假设我们从每个种群中随机收集海龟样本，并包含以下信息：

样本1：

• 样本量 n ₁ = 40
• 平均样本重量x ₁ = 300
• 样本标准差 s ₁ = 18.5

样本2：

• 样本量 n ₂ = 38
• 平均样本重量x ₂ = 305
• 样本标准差 s ₂ = 16.7

我们将使用以下假设进行双样本 t 检验：

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ （两个总体平均值相等）
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ （两个总体平均值不相等）

首先，我们将计算合并标准差 s _p ：

s _p = √ (n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² / (n ₁ +n ₂ -2) = √ ( 40-1)18.5 ² + (38-1) 16.7 ² / (40+38-2) = 17.647

接下来，我们将计算t检验统计量：

t = ( x ₁ – x ₂ ) / _sp (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ ) = (300-305) / 17.647(√ 1/40 + 1/38 ) = -1.2508

接下来，我们将计算自由度：

df = n ₁ + n ₂ – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

最后，我们将检验统计量和自由度插入P 值 T 分数计算器，发现 p 值为0.21484 。

由于该 p 值不低于我们的显着性水平 α = 0.05，因此我们无法拒绝原假设。我们没有足够的证据表明这两个种群的海龟平均体重不同。

示例 3：配对样本 t 检验的自由度

假设我们想知道某个训练计划是否能够提高大学篮球运动员的最大垂直弹跳（以英寸为单位）。

为了测试这一点，我们可以招募 20 名大学篮球运动员作为简单的随机样本，并测量他们每个人的最大垂直弹跳。然后我们可以让每个球员使用一个月的训练计划，然后在月底再次测量他们的最大垂直弹跳。

为了确定训练计划是否确实对最大垂直弹跳产生影响，我们将进行配对样本 t 检验。

首先，我们将计算以下差异的汇总数据：

• x _diff ：样本差异平均值 = -0.95
• s：差异的样本标准差 = 1.317
• n：样本大小（即对数）= 20

我们将使用以下假设进行配对样本 t 检验：

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ （两个总体平均值相等）
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ （两个总体平均值不相等）

接下来，我们将计算检验统计量：

t = x_差异/ (s_差异/√n) = -0.95 / (1.317/√20) = -3.226

接下来，我们将计算自由度：

df = n – 1 = 20 – 1 = 19

根据T 分数到 P 值计算器，与 t = -3.226 和自由度 = n-1 = 20-1 = 19 相关的 p 值为0.00445 。

由于该 p 值低于显着性水平 α = 0.05，因此我们拒绝原假设。我们有足够的证据表明，球员在参加训练计划之前和之后的平均最大垂直弹跳是不同的。

其他资源

以下计算器可用于根据您提供的数据自动执行 t 检验：

t 检验计算器的示例
二样本 t 检验计算器
配对样本 t 检验计算器