贝塔分布

本文解释了什么是 Beta 发行版以及它的用途。同样,您将能够看到 beta 分布图以及此类概率分布的属性。

什么是贝塔分布?

beta 分布是在区间 (0,1) 上定义的概率分布,并由两个正参数 α 和 β 参数化。换句话说,β分布的值取决于参数α和β。

因此,β分布的主要特点是其形状可以由参数α和β控制。此外,β 分布用于定义值在 0 到 1 之间的随机变量。

有几种表示法表明连续随机变量受 beta 分布支配,最常见的是:

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}

在统计学中,β 分布的应用非常广泛。例如,β 分布用于研究不同样本中百分比的变化。同样,在项目管理中,β分布用于进行Pert分析。

贝塔分布图

考虑到 beta 分布的定义,beta 分布的密度函数和概率分布函数如下图所示。

下面您可以看到 beta 分布的密度函数图如何根据参数 α 和 β 变化。

贝塔分布图

同样,下面您可以看到基于参数 α 和 β 的 beta 分布的累积概率的图形表示。

累积贝塔分布图

贝塔分布的特征

在本节中,我们将了解 beta 分布最重要的特征是什么。

  • beta 分布的参数 α 和 β 是正实数。

\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex] \beta >0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”54″ width=”44″ style=”vertical-align: 0px;”></p>
</p>
<ul>
<li> beta分布的域范围为0到1,不包括两个极端。</li>
</ul>
<p class=x\in (0,1)

  • beta 分布的平均值等于 alpha 除以 alpha 加 beta 之和。

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] E[X]=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{array}

  • beta 分布的方差可以使用以下公式计算:

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\alpha\cdot \beta}{(\alpha+\beta+1)\cdot (\alpha+\beta)^2}\end{array}

  • 对于大于 1 的 alpha 和 beta 值,可以通过以下表达式轻松找到 beta 分布模式:

Mo=\cfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\qquad \alpha,\beta>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”225″ style=”vertical-align: -16px;”></p>
</p>
<ul>
<li> beta分布的密度函数如下:</li>
</ul>
<p class=\displaystyle P[X=x]=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}

其中B(α,β)是β函数,定义为:

\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx

  • Beta 分布的累积概率函数为:

\displaystyle P[X\leq x]=\frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}

其中B(x;α,β)是不完全beta函数,定义为:

\displaystyle B(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt

  • 如果 X 是由 beta 分布定义的变量,则 1-X 是由 beta 分布定义的变量,其 alpha 和 beta 参数分别是原始 beta 分布的 beta 和 alpha 参数。

X\sim B(\alpha,\beta) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ 1-X\sim B(\beta,\alpha)

  • 如果 beta 分布的 alpha 和 beta 参数都等于 1,则该分布相当于参数 0 和 1 的均匀分布。

X\sim B(1,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim U(0,1)

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