负二项分布简介

负二项分布描述了在一系列伯努利试验中经历一定次数的成功之前经历一定次数的失败的概率。

伯努利试验是一种只有两种可能结果的实验——“成功”或“失败”——并且每次进行实验的成功概率都是相同的。

伯努利文章的一个例子是抛硬币。硬币只能落在两个正面上（我们可以将正面称为“命中”，反面称为“失败”），并且假设硬币是公平的，每次翻转成功的概率为 0.5。

如果一个随机变量

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

金子：

• k：失败次数
• r：成功次数
• p：给定试验的成功概率
• _k+r-1 C _k :一次取k个(k+r-1)个事物的组合数量

例如，假设我们抛一枚硬币，并将“成功”事件定义为正面朝上。在经历总共 4 次成功之前经历 6 次失败的概率是多少？

为了回答这个问题，我们可以使用具有以下参数的负二项分布：

• k：失败次数 = 6
• r：成功次数 = 4
• p：给定试验的成功概率 = 0.5

将这些数字代入公式，我们发现概率为：

P(X=6 次失败) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 。

负二项分布的性质

负二项分布具有以下性质：

在获得r 次成功之前，我们预期的平均失败次数是pr/(1-p) 。

在获得r次成功之前预期的失败次数的方差为pr / (1-p) ² 。

例如，假设我们抛一枚硬币，并将“成功”事件定义为正面朝上。

在获得 4 次成功之前，我们预期的平均失败次数（例如机尾着陆）将为pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 。

在获得 4 次成功之前，我们预期的失败次数的方差为pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 。

负二项分布练习题

使用以下练习题来测试您对负二项分布的了解。

注意：我们将使用负二项分布计算器来计算这些问题的答案。

问题1

问题：假设我们抛一枚硬币，并将“成功”事件定义为正面朝上。在经历总共 4 次成功之前经历 3 次失败的概率是多少？

答案：使用负二项式分布计算器，k = 3 次失败，r = 4 次成功，p = 0.5，我们发现 P(X=3) = 0.15625 。

问题2

问题：假设我们挨家挨户卖糖果。如果有人买了一块棒棒糖，我们就认为这是“成功”。某个人购买一块棒棒糖的概率是 0.4。在经历总共 5 次成功之前经历 8 次失败的概率是多少？

答案：使用负二项式分布计算器，k = 8 次失败，r = 5 次成功，p = 0.4，我们发现 P(X=8) = 0.08514 。

问题3

问题：假设我们掷骰子，并将“成功”掷骰定义为落在数字 5 上。在给定的掷骰中，骰子落在 5 上的概率为 1/6 = 0.167。在经历总共 3 次成功之前经历 4 次失败的概率是多少？

答案：使用负二项式分布计算器，k = 4 次失败，r = 3 次成功，p = 0.167，我们发现 P(X=4) = 0.03364 。