鱼类分布

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 可能性 0 条评论

本文解释了泊松分布在统计学中的含义及其用途。因此，您将找到泊松分布的定义、泊松分布的示例及其属性。最后，您将能够使用在线计算器计算泊松分布的任何概率。

什么是泊松分布？

泊松分布是一种概率分布，定义了一段时间内发生给定数量的事件的概率。

换句话说，泊松分布用于对随机变量进行建模，这些随机变量描述现象在时间间隔内重复的次数。

泊松分布有一个特征参数，用希腊字母 λ 表示，表示所研究的事件在给定时间间隔内预计发生的次数。

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

一般来说，泊松分布用于对发生概率非常低的事件进行统计建模。下面您可以看到此类概率分布的几个示例。

泊松分布的示例

看过泊松分布的定义后，下面是泊松分布的几个例子。

泊松分布的示例：

一小时内进入商店的人数。
一个月内跨越两国边境的车辆数量。
一天内访问某个网页的用户数量。
工厂一天生产的缺陷零件数量。
电话交换机每分钟接到的呼叫数量。

鱼类分布公式

在泊松分布中， x事件发生的概率等于数字e的 -λ次方乘以λ的x次方并除以x的阶乘。

因此，计算泊松分布概率的公式为：

👉您可以使用下面的计算器来计算变量遵循泊松分布的概率。

由于泊松分布是离散概率分布，因此要确定累积概率，您必须找到直到所讨论的值的所有值的概率，然后将所有计算出的概率相加。

泊松分布的求解练习

一个品牌销售的产品数量遵循 λ=5 单位/天的泊松分布。您一天只售出 7 件的概率是多少？您一天内售出 3 件或更少的概率是多少？

为了获得问题所需的不同概率，我们必须应用泊松分布公式（见上文）。因此，使用此公式我们计算一天内售出 7 件商品的概率：

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

其次，我们需要确定销售 3 个或更少单位的累积概率。因此，为了找到这个概率，我们需要分别计算出售 1 单位、2 单位和 3 单位的概率，然后将它们相加。

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

因此，我们首先分别计算每个概率：

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

接下来，我们将三个计算出的概率相加，以确定一天内销售三个或更少单位的概率。

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

泊松分布的特征

在本节中，我们将了解泊松分布的特征。

泊松分布由单个特征参数 λ 定义，该参数表示所研究的事件在特定时间段内预计发生的次数。

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

泊松分布的均值等于其特征参数 λ。

$E[X]=\lambda$

类似地，泊松分布的方差相当于其特征参数 λ。

$Var(X)=\lambda$

如果λ是整数，则泊松分布的众数是双峰的，其值为λ和λ-1。相反，如果 λ 不是整数，则泊松分布的众数是小于或等于 λ 的最大整数。

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

没有确定泊松分布中位数的具体公式，但您可以找到它的区间：

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

泊松分布的概率函数如下：

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

添加独立的泊松随机变量会产生另一个泊松随机变量，其特征参数是原始变量的参数之和。

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$