Asymmetriekoeffizient
In diesem Artikel wird erläutert, was der Asymmetriekoeffizient ist, wie er berechnet wird und wie er zu interpretieren ist. Konkret erfahren Sie, wie Sie die drei in der Statistik am häufigsten verwendeten Arten von Asymmetriekoeffizienten berechnen.
Was ist der Asymmetriekoeffizient?
In der Statistik ist der Asymmetriekoeffizient ein Koeffizient, mit dem sich die Asymmetrie einer Verteilung berechnen lässt. Das heißt, der Schiefekoeffizient wird verwendet, um zu bestimmen, ob eine Funktion positiv, negativ oder symmetrisch ist.
Der Asymmetriekoeffizient kann auch als Asymmetrieindex bezeichnet werden.
Bedenken Sie, dass die Schiefe einer Verteilung von der Form der Kurve abhängt. Somit sind die verschiedenen Arten der Asymmetrie:
- Positive Schiefe : Die Verteilung weist rechts vom Mittelwert mehr unterschiedliche Werte auf als links.
- Negative Schiefe : Die Verteilung hat links vom Mittelwert mehr unterschiedliche Werte als rechts davon.
- Symmetrie : Die Verteilung hat links und rechts vom Mittelwert die gleiche Anzahl an Werten.
Je nach Fall werden hauptsächlich drei Arten von Asymmetriekoeffizienten verwendet: der Fisher-Koeffizient, der Pearson-Koeffizient und der Bowley-Koeffizient. Im Folgenden wird ausführlich erläutert, wie die einzelnen Arten von Schiefekoeffizienten berechnet werden.
Fishers Asymmetriekoeffizient
Der Schiefekoeffizient nach Fisher entspricht dem dritten Moment um den Mittelwert dividiert durch die Standardabweichung der Stichprobe. Daher lautet die Formel für den Fisher-Asymmetriekoeffizienten :
Entsprechend kann eine der beiden folgenden Formeln zur Berechnung des Fisher-Koeffizienten verwendet werden:
![\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92f7c8482d520258f24cc0166d898d1e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold
ist die mathematische Erwartung,
das arithmetische Mittel,
die Standardabweichung und
die Gesamtzahl der Daten.
Wenn die Daten hingegen gruppiert sind, können Sie die folgende Formel verwenden:
Wo in diesem Fall
Es ist das Zeichen von Klasse und
die absolute Häufigkeit des Kurses.
Sobald sein Wert berechnet wurde, lautet die Interpretation des Fisher-Asymmetriekoeffizienten wie folgt:
- Wenn der Schiefekoeffizient nach Fisher positiv ist, ist die Verteilung positiv schief.
- Wenn der Schiefekoeffizient nach Fisher negativ ist, ist die Verteilung negativ schief.
- Wenn die Verteilung symmetrisch ist, ist der Fisher-Asymmetriekoeffizient gleich Null. Das Gegenteil ist nicht der Fall, was bedeutet, dass die Tatsache, dass der Fisher-Koeffizient Null ist, nicht immer bedeutet, dass die Verteilung symmetrisch ist.
Asymmetriekoeffizient nach Pearson
Der Schiefekoeffizient nach Pearson entspricht der Differenz zwischen dem Stichprobenmittelwert und dem Stichprobenmodus dividiert durch seine Standardabweichung (oder Standardabweichung). Die Formel für den Pearson-Asymmetriekoeffizienten lautet daher wie folgt:
Gold
ist der Pearson-Koeffizient,
das arithmetische Mittel,
Mode und
die Standardabweichung.
Beachten Sie, dass der Pearson-Skewness-Koeffizient nur berechnet werden kann, wenn es sich um eine unimodale Verteilung handelt, d. h. wenn die Daten nur einen Modus enthalten.
In einigen Statistikbüchern wird der Pearson-Skewness-Koeffizient anhand des Medians anstelle des Modus berechnet, im Allgemeinen wird jedoch die obige Formel verwendet.
Nachdem der Pearson-Asymmetriekoeffizient berechnet wurde, muss sein Wert gemäß den folgenden Regeln interpretiert werden:
- Wenn der Pearson-Skewness-Koeffizient positiv ist, bedeutet dies, dass die Verteilung positiv schief ist.
- Wenn der Pearson-Skewness-Koeffizient negativ ist, bedeutet dies, dass die Verteilung negativ schief ist.
- Wenn der Pearson-Schiefekoeffizient Null ist, bedeutet dies, dass die Verteilung symmetrisch ist.
Bowleys Asymmetriekoeffizient
Der Schiefekoeffizient nach Bowley ist gleich der Summe aus dem dritten Quartil plus dem ersten Quartil minus dem Doppelten des Medians dividiert durch die Differenz zwischen dem dritten und dem ersten Quartil. Die Formel für diesen Asymmetriekoeffizienten lautet daher wie folgt:
Gold
Und
Dies sind jeweils das erste und dritte Quartil und
ist der Median der Verteilung.
Denken Sie daran, dass der Median einer Verteilung mit dem zweiten Quartil übereinstimmt.
Die Interpretation des Bowley-Koeffizienten erfolgt auf die gleiche Weise wie bei den beiden vorherigen Arten von Asymmetriekoeffizienten:
- Wenn Bowleys Schiefekoeffizient positiv ist, ist die Verteilung positiv schief.
- Wenn Bowleys Schiefekoeffizient negativ ist, ist die Verteilung negativ schief.
- Wenn der Bowley-Schiefekoeffizient Null ist, ist die Verteilung symmetrisch.
Über den Autor
Dr. Benjamin Anderson
Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen