Beta-verteilung

Von Dr. Benjamin Anderson August 4, 2023 Wahrscheinlichkeit Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was Beta-Distribution ist und wofür sie verwendet wird. Ebenso können Sie das Beta-Verteilungsdiagramm und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sehen.

Was ist die Beta-Verteilung?

Die Beta-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf dem Intervall (0,1) definiert und durch zwei positive Parameter parametrisiert ist: α und β. Mit anderen Worten, die Werte der Beta-Verteilung hängen von den Parametern α und β ab.

Daher besteht das Hauptmerkmal der Beta-Verteilung darin, dass ihre Form durch die Parameter α und β gesteuert werden kann. Darüber hinaus wird die Betaverteilung verwendet, um Zufallsvariablen zu definieren, deren Wert zwischen 0 und 1 liegt.

Es gibt mehrere Notationen, die darauf hinweisen, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable durch eine Betaverteilung bestimmt wird. Die gebräuchlichsten sind:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

In der Statistik hat die Beta-Verteilung sehr unterschiedliche Anwendungen. Beispielsweise wird die Betaverteilung verwendet, um prozentuale Schwankungen in verschiedenen Stichproben zu untersuchen. In ähnlicher Weise wird im Projektmanagement die Betaverteilung zur Durchführung einer Pert-Analyse verwendet.

Beta-Verteilungsdiagramm

Unter Berücksichtigung der Definition der Beta-Verteilung werden unten die Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Beta-Verteilung dargestellt.

Unten sehen Sie, wie sich der Dichtefunktionsgraph der Beta-Verteilung in Abhängigkeit von den Parametern α und β ändert.

Ebenso sehen Sie unten die grafische Darstellung der kumulativen Wahrscheinlichkeit der Beta-Verteilung basierend auf den Parametern α und β.

Merkmale der Beta-Verteilung

In diesem Abschnitt werden wir sehen, was die wichtigsten Merkmale der Beta-Verteilung sind.

Die Parameter α und β der Betaverteilung sind reelle und positive Zahlen.

$\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex] \beta >0\end{array}“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“54″ width=“44″ style=“vertical-align: 0px;“></p> </p> <ul> <li> Der Bereich der Betaverteilung reicht von 0 bis 1, die beiden Extreme sind nicht enthalten.</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,1)$

Der Mittelwert der Betaverteilung ist gleich Alpha dividiert durch die Summe Alpha plus Beta.

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] E[X]=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{array}$

Die Varianz der Betaverteilung kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\alpha\cdot \beta}{(\alpha+\beta+1)\cdot (\alpha+\beta)^2}\end{array}$

Für Alpha- und Beta-Werte größer als 1 kann der Beta-Verteilungsmodus leicht mit dem folgenden Ausdruck ermittelt werden:

$Mo=\cfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\qquad \alpha,\beta>1″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“42″ width=“225″ style=“vertical-align: -16px;“></p> </p> <ul> <li> Die Dichtefunktion der Beta-Verteilung lautet wie folgt:</li> </ul> <p class=$ $\displaystyle P[X=x]=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

Dabei ist B(α,β) die Beta-Funktion, die wie folgt definiert ist:

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

Die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Betaverteilung ist:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

Dabei ist B(x;α,β) die unvollständige Betafunktion, definiert als:

$\displaystyle B(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt$

Wenn X eine durch eine Beta-Verteilung definierte Variable ist, dann ist 1-X eine durch eine Beta-Verteilung definierte Variable, deren Alpha- und Beta-Parameter jeweils die Beta- und Alpha-Parameter der ursprünglichen Beta-Verteilung sind.

$X\sim B(\alpha,\beta) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ 1-X\sim B(\beta,\alpha)$

Wenn die Alpha- und Beta-Parameter der Beta-Verteilung beide gleich 1 sind, entspricht die Verteilung einer gleichmäßigen Verteilung der Parameter 0 und 1.

$X\sim B(1,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim U(0,1)$

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

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Beta-Verteilungsdiagramm

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