Was sind iid-zufallsvariablen? (definition & beispiele)

In der Statistik werden Zufallsvariablen als iid – unabhängig und identisch verteilt – bezeichnet, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:

(1) Unabhängig – Der Ausgang eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf den Ausgang eines anderen.

(2) Identisch verteilt – Die Wahrscheinlichkeitsverteilung jedes Ereignisses ist identisch.

Die folgenden Szenarien veranschaulichen Beispiele für iid-Zufallsvariablen in der Praxis.

Beispiel 1: Wirf eine Münze

Angenommen, wir werfen eine Münze zehnmal und verfolgen, wie oft die Münze „Kopf“ zeigt.

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable, da beide der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(1) Unabhängig – Das Ergebnis eines Münzwurfs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Münzwurfs. Jeder Wurf ist unabhängig.

(2) Gleichmäßige Verteilung – Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze bei einem bestimmten Wurf „Kopf“ landet, beträgt 0,5. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht von einem Wurf zum anderen.

Beispiel 2: Wirf einen Würfel

Angenommen, wir würfeln 50 Mal und verfolgen, wie oft der Würfel auf der Zahl 4 landet.

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable, da beide der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(1) Unabhängig – Das Ergebnis eines Würfelwurfs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Würfelwurfs. Jede Walze ist unabhängig.

(2) Gleichmäßig verteilt – Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel bei einem bestimmten Wurf auf „4“ landet, beträgt 1/6. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht von einem Wurf zum anderen.

Beispiel 3: Einen Kreisel drehen

Angenommen, wir drehen ein Rouletterad, das gleichmäßig in vier Farben (Rot, Blau, Grün und Lila) unterteilt ist, 100 Mal und verfolgen, wie oft es auf Lila landet.

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable, da beide der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(1) Unabhängig – Das Ergebnis einer Runde hat keinen Einfluss auf das Ergebnis einer anderen Runde. Jede Runde ist unabhängig.

(2) Gleichmäßig verteilt – Die Wahrscheinlichkeit, dass das Rouletterad bei jeder Drehung auf Lila landet, beträgt 0,25. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht von einer Runde zur nächsten.

Beispiel 4: Eine Karte auswählen

Ein Standardkartenspiel enthält 52 Karten, darunter 4 Damen. Angenommen, wir ziehen zufällig eine Karte aus einem Standardstapel und legen die Karte dann zurück in den Stapel. Angenommen, wir wiederholen dies 100 Mal und behalten im Auge, wie oft wir eine Königin ziehen.

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable, da beide der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(1) Unabhängig – Das Ergebnis einer Ziehung hat keinen Einfluss auf das Ergebnis einer anderen Ziehung. Jeder Druck ist unabhängig.

(2) Identisch verteilt – Die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einer bestimmten Ziehung eine Königin wählen, beträgt 4/52. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich von einer Ziehung zur nächsten nicht.

Zusätzliche Ressourcen

Eine Einführung in Zufallsvariablen
Was ist die Unabhängigkeitsannahme in der Statistik?