Chi-quadrat-verteilung

Von Dr. Benjamin Anderson August 4, 2023 Wahrscheinlichkeit Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was die Chi-Quadrat-Verteilung ist und wofür sie verwendet wird. Darüber hinaus finden Sie das Chi-Quadrat-Verteilungsdiagramm und seine Eigenschaften.

Was ist die Chi-Quadrat-Verteilung?

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Symbol χ² ist. Genauer gesagt ist die Chi-Quadrat-Verteilung die Summe des Quadrats von k unabhängigen Zufallsvariablen mit einer Normalverteilung.

Somit hat die Chi-Quadrat-Verteilung k Freiheitsgrade. Daher hat eine Chi-Quadrat-Verteilung so viele Freiheitsgrade wie die Summe der Quadrate der normalverteilten Variablen, die sie darstellt.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird auch als Pearson-Verteilung bezeichnet.

Es ist zu beachten, dass die Chi-Quadrat-Verteilung ein Sonderfall der Gamma-Verteilung ist.

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird häufig bei statistischen Schlussfolgerungen verwendet, beispielsweise beim Testen von Hypothesen und bei Konfidenzintervallen. Wir werden unten sehen, welche Anwendungen diese Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sind.

Chi-Quadrat-Verteilungsdiagramm

Sobald wir die Definition der Chi-Quadrat-Verteilung sehen, werden wir mehrere Beispiele dieser Art von Verteilung grafisch dargestellt sehen. Unten sehen Sie also, wie das Wahrscheinlichkeitsdiagramm der Chi-Quadrat-Verteilung je nach Freiheitsgrad variiert.

Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist in der obigen Grafik dargestellt. Andererseits sieht das Diagramm der kumulativen Chi-Quadrat-Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion wie folgt aus:

Diagramm der kumulativen Chi-Quadrat-Verteilung

➤ Siehe: Chi-Quadrat-Verteilungstabelle

Merkmale der Chi-Quadrat-Verteilung

In diesem Abschnitt werden wir die wichtigsten Eigenschaften der Chi-Quadrat-Verteilung im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik sehen.

Der Mittelwert einer Chi-Quadrat-Verteilung entspricht ihren Freiheitsgraden.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] E[X]=k\end{array}$

Die Varianz einer Chi-Quadrat-Verteilung entspricht dem Doppelten der Freiheitsgrade der Verteilung.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] Var(X)=2\cdot k\end{array}$

Der Modus einer Chi-Quadrat-Verteilung ist zwei Einheiten kleiner als ihre Freiheitsgrade, solange die Verteilung mehr als einen Freiheitsgrad hat.

$Mo=k-2 \qquad \text{si } k\geq 2$

Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist Null, wenn x=0. Für Werte von x größer als 0 wird die Dichtefunktion einer Chi-Quadrat-Verteilung jedoch durch die folgende Formel definiert:

$\displaystyle P[X=x]= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$

Die kumulative Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung wird durch die folgende Formel bestimmt:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}$

Der Schiefekoeffizient der Chi-Quadrat-Verteilung ist die Quadratwurzel des Quotienten von acht dividiert durch die Anzahl der Freiheitsgrade der Verteilung.

$\displaystyle A=\sqrt{\frac{8}{k}}$

Die Kurtosis der Chi-Quadrat-Verteilung wird mit dem folgenden Ausdruck berechnet:

$C=3+\cfrac{12}{k}$

Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes kann die Chi-Quadrat-Verteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden, wenn k groß genug ist.

$\displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k } = N_{\left(1,\sqrt{2/k}\right)} (x)$

Anwendungen der Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung hat in der Statistik viele verschiedene Anwendungen. Tatsächlich gibt es sogar den Chi-Quadrat-Test, mit dem die Unabhängigkeit zwischen Variablen und die Güte der Anpassung an eine theoretische Verteilung überprüft werden. Beispielsweise kann der Chi-Quadrat-Test verwendet werden, um zu bestimmen, ob die Daten einer Stichprobe einer Poisson-Verteilung entsprechen.

Bei der linearen Regressionsanalyse wird die Chi-Quadrat-Verteilung auch verwendet, um den Mittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit und die Steigung der Studienlinie der linearen Regression zu schätzen.

Schließlich ist auch die Chi-Quadrat-Verteilung durch ihre Beziehung zur Snedecor-F-Verteilung an der Varianzanalyse beteiligt.

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen