Weibull-verteilung

Von Dr. Benjamin Anderson August 3, 2023 Wahrscheinlichkeit Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was die Weibull-Verteilung ist und wofür sie verwendet wird. Darüber hinaus können Sie die grafische Darstellung der Weibull-Verteilung und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sehen.

Was ist die Weibull-Verteilung?

Die Weibull-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch zwei charakteristische Parameter definiert ist: den Formparameter α und den Skalenparameter λ.

In der Statistik wird die Weibull-Verteilung hauptsächlich zur Überlebensanalyse verwendet. Ebenso hat die Weibull-Verteilung viele Anwendungen in verschiedenen Bereichen. Im Folgenden gehen wir detailliert auf die Verwendung der Weibull-Verteilung ein.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

Den Autoren zufolge lässt sich die Weibull-Verteilung auch mit drei Parametern parametrisieren. Dann wird ein dritter Parameter namens Schwellenwert hinzugefügt, der die Abszisse angibt, bei der das Verteilungsdiagramm beginnt.

Die Weibull-Verteilung ist nach dem Schweden Waloddi Weibull benannt, der sie 1951 ausführlich beschrieb. Allerdings wurde die Weibull-Verteilung 1927 von Maurice Fréchet entdeckt und erstmals 1933 von Rosin und Rammler angewendet.

Darstellung der Weibull-Verteilung

Sobald wir die Definition der Weibull-Verteilung kennengelernt haben, werden wir sehen, wie sich ihre grafische Darstellung abhängig von den Werten ihrer Parameter ändert.

Unten sehen Sie mehrere Beispiele dafür, wie sich der Dichtefunktionsgraph der Weibull-Verteilung abhängig vom Wert des Formparameters und des Skalenparameters ändert.

Wenn die Weibull-Verteilung zur Modellierung der Ausfallrate eines Systems als Funktion der Zeit verwendet wird, bedeutet der Wert des Formparameters α Folgendes:

α<1: Die Ausfallrate nimmt mit der Zeit ab.
α=1: Die Ausfallrate ist über die Zeit konstant.
α>1: Die Ausfallrate steigt mit der Zeit.

Andererseits sehen Sie in der folgenden Grafik die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Weibull-Verteilung anhand ihrer charakteristischen Werte.

kumulative Wahrscheinlichkeit der Weibull-Verteilung

Merkmale der Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung weist folgende Merkmale auf:

Die Weibull-Verteilung hat zwei charakteristische Parameter, die ihren Graphen definieren: den Formparameter α und den Skalenparameter λ. Beide Parameter sind positive reelle Zahlen.

$\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex]\lambda >0\\[2ex]\text{Weibull}(\alpha,\lambda)\end{array}“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“92″ width=“101″ style=“vertical-align: 0px;“></p> </p> <ul> <li> Die Weibull-Verteilung akzeptiert nur positive Abszissenwerte.</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,+\infty)$

Der Mittelwert der Weibull-Verteilung wird mit der folgenden Formel berechnet:

$\displaystyle E[X]=\frac{1}{\lambda}\;\Gamma\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)$

Andererseits lautet die Formel zum Ermitteln der Varianz der Weibull-Verteilung:

$\displaystyle Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)\right]$

Der Modus einer Zufallsvariablen, die einer Weibull-Verteilung mit α>1 folgt, kann durch den folgenden Ausdruck bestimmt werden:

$\displaystyle Mo=\frac{1}{\lambda}\left(\frac{\alpha-1}{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}} \quad \text{para } \alpha>1″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“50″ width=“257″ style=“vertical-align: -17px;“></p> </p> <ul> <li> Die Formel für die Dichtefunktion der Weibull-Verteilung lautet:</li> </ul> <p class=$ $\displaystyle P[X=x]=\lambda\alpha(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-(\lambda x)^\alpha}$

Ebenso lautet die Formel für die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Weibull-Verteilung:

$\displaystyle P[X\leq x]=1- e^{-(\lambda x)^\alpha}$

Der Asymmetriekoeffizient der Weibull-Verteilung wird durch Anwendung der folgenden Formel berechnet:

$\displaystyle A=\frac{\displaystyle\Gamma\left(1+\frac{3}{\alpha}\right)\frac{|}{\lambda^3}-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$

Schließlich lautet die Formel, die es ermöglicht, den Kurtosis-Koeffizienten der Weibull-Verteilung zu bestimmen:

$\displaystyle C=\frac{\displaystyle\frac{1}{\lambda^4}\Gamma \left(1+\frac{4}{\alpha}\right)-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}$

Gold

$\Gamma_i=\Gamma\left(1+\frac{i}{\alpha}\right).$

Anwendungen der Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung hat viele Anwendungen, darunter:

In der angewandten Statistik wird die Weibull-Verteilung zur Überlebensanalyse verwendet.
Im Ingenieurwesen wird die Weibull-Verteilung zur Modellierung von Funktionen im Zusammenhang mit der Fertigungszeit verwendet.
In Radarsystemen zur Simulation der Streuung des empfangenen Signals.
Im Versicherungsbereich zur Modellierung des Schadensumfangs.
In der Meteorologie beispielsweise zur Modellierung der Häufigkeit unterschiedlicher Windgeschwindigkeiten.

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen