Z-score

In diesem Artikel wird erklärt, was der Z-Score in der Statistik ist. Außerdem erfahren Sie, wie Sie den Z-Score einer Aktie berechnen, Beispiele für die Berechnung und die Merkmale von Z-Scores.

Was ist der Z-Score?

Der Z-Score oder Z-Score ist ein statistischer Score, der angibt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert aufweist. Um einen Z-Score für einen Wert zu berechnen, subtrahieren Sie den Mittelwert von diesem Wert und dividieren ihn dann durch die Standardabweichung der Datenstichprobe.

Wenn ein Wert beispielsweise zwei Standardabweichungen unter dem arithmetischen Mittel des Datensatzes liegt, beträgt der Z-Score für diesen Wert -2.

Dieser statistische Begriff wird auch Standard-Score , Z-Statistik oder Z-Wert genannt.

Der Z-Score eines Werts ist beim Testen von Hypothesen sehr nützlich, um die Grenzen der Konfidenzintervalle und damit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu berechnen.

Z-Score-Formel

Der Z-Score entspricht der Differenz zwischen dem Wert und dem Mittelwert des Datensatzes dividiert durch die Standardabweichung. Um den Z-Score zu ermitteln, müssen Sie daher zunächst den Mittelwert vom Wert subtrahieren und dann das Ergebnis durch die Standardabweichung dividieren.

Kurz gesagt lautet die Z-Score-Formel :

Gold

ist der Z-Score,

ist der Wert, aus dem der Z-Score berechnet wird,

ist das arithmetische Mittel und

ist die Standardabweichung oder typische Abweichung.

Die Interpretation des Z-Score-Werts ist einfach: Der Z-Score-Wert gibt die Anzahl der Standardabweichungen zwischen einem Wert und dem Mittelwert an. Je größer also der Absolutwert des Z-Scores ist, desto stärker weicht der Wert vom Mittelwert ab.

Beispiele für Z-Scores

Nachdem wir die Definition des Z-Scores kennengelernt haben, gehen wir in diesem Abschnitt dazu über, ein Beispiel zu lösen, in dem mehrere Z-Scores berechnet werden, damit Sie seine Bedeutung besser verstehen können.

• Berechnen Sie Z-Scores für alle folgenden Daten: 7, 2, 4, 9, 3

Zuerst müssen wir das arithmetische Mittel der Beispieldaten ermitteln:

Zweitens berechnen wir die Standardabweichung der Datenreihe:

Und schließlich wenden wir die Z-Score-Formel auf alle Daten an und berechnen alle Z-Scores:

Der Z-Score und die Faustregel

Wenn die Verteilung der Stichprobe eine Normalverteilung ist , können wir dank der empirischen Regel schnell erkennen, welcher Prozentsatz der Werte einem Wert entspricht, indem wir seinen Z-Score berechnen.

Die Faustregel besagt also, dass in jeder Normalverteilung Folgendes gilt:

• 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.
• 95 % der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.
• 99,7 % der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Wenn es sich also um eine Normalverteilung handelt, können wir aus der Faustregel Folgendes ableiten:

• Wenn der Z-Score kleiner als 1 ist, liegt der Wert in den oberen 68 % der Werte.
• Wenn der Z-Score größer als 1, aber kleiner als 2 ist, liegt der Wert in den oberen 95 % der Werte.
• Wenn der Z-Score größer als 2, aber kleiner als 3 ist, liegt der Wert unter den 99,7 % der Werte.

Weitere Werte der Faustregel können Sie der folgenden Tabelle entnehmen:

Z-Score-Eigenschaften

Z-Scores haben die folgenden Eigenschaften:

• Das arithmetische Mittel aller Z-Scores ist immer 0.
• Die Standardabweichung der Z-Scores beträgt 1.
• Z-Scores sind dimensionslos, da die Einheiten des Zählers mit den Einheiten des Nenners aufgehoben werden.
• Wenn ein Z-Score positiv ist, bedeutet dies, dass der Wert größer als der Stichprobenmittelwert ist. Wenn der Z-Score hingegen negativ ist, bedeutet dies, dass der Wert niedriger als der Stichprobenmittelwert ist.
• Z-Scores sind sehr nützlich, um verschiedene Verteilungen zu vergleichen.