Multiplikationsregel

In diesem Artikel wird erklärt, was die Multiplikationsregel, auch Produktregel genannt, in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist. So finden Sie die Formel der Multiplikationsregel, Beispiele für die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit mit der Multiplikationsregel und darüber hinaus mehrere gelöste Übungsaufgaben zum Üben.

Die Multiplikationsregel hängt davon ab, ob die Ereignisse unabhängig oder abhängig sind. Daher werden wir zunächst sehen, wie die Regel für unabhängige Ereignisse und später für abhängige Ereignisse aussieht.

Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Denken Sie daran, dass unabhängige Ereignisse das Ergebnis eines statistischen Experiments sind, deren Eintrittswahrscheinlichkeit nicht voneinander abhängt. Mit anderen Worten: Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A nicht vom Eintreten von Ereignis B abhängt und umgekehrt.

Multiplikationsregelformel für unabhängige Ereignisse

Daher lautet die Formel für die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse:

Gold:

• 

  Und

  

  Es handelt sich um zwei unabhängige Ereignisse.

• 

  ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten.

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt.

Beispiel einer Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

• Eine Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei allen drei Würfen „Kopf“ zu bekommen.

In diesem Fall sind die Ereignisse, für die wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, unabhängig, da das Ergebnis einer Ziehung nicht vom Ergebnis der vorherigen Ziehung abhängt. Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, drei aufeinanderfolgende Köpfe zu bekommen, müssen wir daher die Multiplikationsregelformel für unabhängige Ereignisse verwenden:

Wenn wir eine Münze werfen, gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse: Wir können Kopf oder Zahl bekommen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf Kopf oder Zahl zu bekommen, wie folgt:

Um also die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, bei allen drei Münzwürfen Kopf zu bekommen, müssen wir die Wahrscheinlichkeit, bei allen drei Münzwürfen Kopf zu bekommen, mit drei multiplizieren:

Kurz gesagt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander Kopf zu bekommen, 12,5 %.

Nachfolgend sind alle möglichen Ereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm dargestellt. Auf diese Weise können Sie den Prozess, den wir zur Ermittlung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit befolgt haben, besser erkennen:

Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse

Nachdem wir nun gesehen haben, wie die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse lautet, wollen wir uns nun ansehen, wie dieses Gesetz für abhängige Ereignisse aussieht, da die Formel etwas variiert.

Denken Sie daran, dass abhängige Ereignisse das Ergebnis eines Zufallsexperiments sind, deren Eintrittswahrscheinlichkeit voneinander abhängt. Das heißt, zwei Ereignisse sind abhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses beeinflusst.

Multiplikationsregelformel für abhängige Ereignisse

Die Formel für die Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse lautet also:

Gold:

• 

  Und

  

  Dies sind zwei abhängige Ereignisse.

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten.

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.

• 

  ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B bei gegebenem Ereignis A eintritt.

Beispiel einer Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse

• In eine leere Schachtel legen wir 8 blaue Kugeln, 4 orangefarbene Kugeln und 2 grüne Kugeln. Wenn wir zuerst einen Ball ziehen und dann einen anderen Ball, ohne den zuerst gezogenen Ball zurück in die Schachtel zu legen, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Ball blau und der zweite Ball orange ist?

In diesem Fall sind die Ereignisse abhängig, da die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung eine orangefarbene Kugel zu ergattern, von der Farbe der bei der ersten Ziehung gezogenen Kugel abhängt. Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir daher die Multiplikationsregelformel für abhängige Ereignisse verwenden:

Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Ziehung eine blaue Kugel zu erhalten, lässt sich leicht ermitteln, indem man einfach die Anzahl der blauen Kugeln durch die Gesamtzahl der Kugeln dividiert:

Andererseits wird die Wahrscheinlichkeit, nach der Aufnahme einer blauen Kugel eine orangefarbene Kugel zu ziehen, anders berechnet, da die Anzahl der orangefarbenen Kugeln unterschiedlich ist und außerdem nun eine Kugel weniger in der Schachtel liegt:

Somit wird die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, zuerst eine blaue Kugel und dann eine orangefarbene Kugel zu ziehen, durch Multiplikation der beiden oben gefundenen Wahrscheinlichkeiten berechnet:

Gelöste Übungen zur Multiplikationsregel

Übung 1

In einer Stadt gibt es nur 3 Kitas: 60 % der Kinder gehen in die Kita A, 30 % in die Kita B und 10 % in die Kita C. Zudem sind in den drei Kitas 55 % der Menschen Mädchen. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

• Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten Kind aus Kindertagesstätte B um ein Mädchen handelt.
• Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten Kind aus einer Kindertagesstätte um einen Jungen handelt.

Wenn der Mädchenanteil in allen Kitas 55 % beträgt, errechnet sich der Jungenanteil durch einfache Subtraktion von 1 minus 0,55:

Da wir nun alle Wahrscheinlichkeiten kennen, können wir den Baum mit den Wahrscheinlichkeiten aller Möglichkeiten erstellen:

In diesem Fall sind die Ereignisse unabhängig, da die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Jungen oder ein Mädchen handelt, nicht von der gewählten Kita abhängt. Um also die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass zufällig ein Mädchen aus Kindertagesstätte B ausgewählt wird, müssen Sie die Wahrscheinlichkeit, Kindertagesstätte B auszuwählen, mit der Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen auszuwählen, multiplizieren:

Um andererseits die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, einen Jungen für eine Kindertagesstätte auszuwählen, müssen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnen, für jede Kindertagesstätte einen Jungen auszuwählen, und diese dann addieren:

Übung 2

Untersucht wurde das Geschäftsjahr von 25 Unternehmen eines Landes und wie sich deren Aktienkurse in Abhängigkeit vom wirtschaftlichen Ergebnis des Jahres verändern. Die gesammelten Daten können Sie der folgenden Kontingenztabelle entnehmen:

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Unternehmen Gewinne erzielt und gleichzeitig der Aktienkurs steigt?

In diesem Fall sind Ereignisse abhängig, da die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktien steigen oder fallen, vom wirtschaftlichen Ergebnis abhängt. Daher müssen wir die Multiplikationsregelformel für abhängige Ereignisse anwenden:

Wir berechnen daher erstens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unternehmen einen Gewinn erzielt, und zweitens die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktien des Unternehmens steigen, wenn es einen wirtschaftlichen Gewinn erzielt hat:

Als nächstes setzen wir die berechneten Werte in die Formel ein und berechnen die gemeinsame Wahrscheinlichkeit: