Gesetz der großen zahlen

In diesem Artikel erklären wir, was das Gesetz der großen Zahlen ist und wofür es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet wird. Außerdem können Sie sich ein Beispiel für die Anwendung des Gesetzes der großen Zahlen ansehen und darüber hinaus erfahren, in welchem Zusammenhang dieses Gesetz mit dem zentralen Grenzwertsatz steht.

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Gesetz der großen Zahlen eine Regel, die das Ergebnis einer großen Anzahl von Malen beschreibt. Genauer gesagt besagt das Gesetz der großen Zahlen, dass der Durchschnitt der Ergebnisse einer großen Anzahl von Versuchen nahe am erwarteten Wert liegt.

Darüber hinaus gilt nach dem Gesetz der großen Zahlen: Je mehr Experimente wir durchführen, desto näher kommen die Ergebnisse dem erwarteten Wert.

Wenn wir zum Beispiel fünfmal eine Münze werfen, können wir nur einmal „Kopf“ bekommen (20 %). Wenn die Münze jedoch mehrmals geworfen wird (mehr als 1000 Würfe), wird fast die Hälfte der Ergebnisse „Kopf“ (50 %) sein, da dies der erwartete Wert ist. Dies ist ein Beispiel für das Gesetz der großen Zahlen.

Der Ursprung des Gesetzes der großen Zahlen liegt im 16. Jahrhundert bei Gerolamo Cardano, doch im Laufe der Geschichte waren viele Autoren an der Entwicklung dieses statistischen Gesetzes beteiligt: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov und Chinchin.

Beispiel für das Gesetz der großen Zahlen

Nachdem wir die Definition des Gesetzes der großen Zahlen gesehen haben, sehen wir uns ein konkretes Beispiel an, um seine Bedeutung besser zu verstehen. In diesem Fall analysieren wir die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse, die wir durch Würfeln erzielen können.

Es gibt sechs mögliche Ergebnisse beim Würfeln (1, 2, 3, 4, 5 und 6), daher ist die theoretische Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses:

Anschließend werden wir den Start mehrmals simulieren und die Ergebnisse in einer Häufigkeitstabelle festhalten, um zu überprüfen, ob das Gesetz der großen Zahlen eingehalten wird.

Damit Sie die Bedeutung der Anzahl der durchgeführten Experimente erkennen können, werden wir zunächst zehn Starts, dann hundert und schließlich tausend Starts simulieren. Somit ergeben sich aus der Simulation von 10 zufälligen Würfelwürfen folgende Ergebnisse:

Wie Sie sehen, ähneln die durch die Simulation von nur zehn Würfen erhaltenen Häufigkeitswahrscheinlichkeiten nicht den theoretischen Wahrscheinlichkeiten.

Aber wenn wir die Anzahl der Experimente erhöhen, werden diese beiden Metriken ähnlicher. Schauen Sie sich die Simulation von 100 Starts an:

Jetzt ähnelt die für jede Zahl auf dem Würfel berechnete Häufigkeitswahrscheinlichkeit eher ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit, wir erhalten jedoch immer noch sehr unterschiedliche Werte.

Schließlich führen wir das gleiche Verfahren durch, simulieren jedoch 1000 Starts:

Wie wir in der letzten Tabelle sehen können, liegen die Werte der Häufigkeitswahrscheinlichkeiten nun sehr nahe an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten.

Zusammenfassend gilt: Je mehr wir die Anzahl der durchgeführten Experimente erhöhen, desto mehr nähert sich der Wert der Häufigkeitswahrscheinlichkeit eines Ereignisses seiner theoretischen Eintrittswahrscheinlichkeit. Daher wird das Gesetz der großen Zahlen respektiert, denn je mehr Iterationen wir durchführen, desto ähnlicher sind die experimentellen Werte den theoretischen Werten.

Einschränkung des Gesetzes der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahlen ist in den allermeisten Fällen gültig, bestimmte Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfüllen diesen statistischen Satz jedoch nicht.

Beispielsweise konvergieren die Cauchy-Verteilung oder die Pareto-Verteilung (α<1) nicht, wenn die Anzahl der Versuche zunimmt. Dies liegt an den großen Ausläufern der Verteilungen, was bedeutet, dass sie keinen erwarteten Wert haben.

Andererseits sind einige Experimente aufgrund ihrer Eigenschaften verzerrt, sodass der Forscher dazu neigt, die Ergebnisse (absichtlich oder unabsichtlich) aus rationalen, psychologischen, wirtschaftlichen usw. Gründen zu modifizieren. Gründe dafür. In diesen Fällen trägt das Gesetz der großen Zahlen nicht dazu bei, die Verzerrung zu beseitigen, aber die Verzerrung bleibt unabhängig von der Erhöhung der Anzahl der Versuche bestehen.

Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz

Das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz sind zwei eng miteinander verbundene Grundregeln der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik. In diesem Abschnitt werden wir sehen, in welcher Beziehung sie zueinander stehen und worin ihre Unterschiede liegen.

Der zentrale Grenzwertsatz, auch zentraler Grenzwertsatz genannt, besagt, dass sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung annähert, wenn die Stichprobengröße zunimmt, unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Grundgesamtheit.

Der Unterschied zwischen dem Gesetz der großen Zahlen und dem zentralen Grenzwertsatz besteht darin, dass das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Durchschnitt einer großen Anzahl von Versuchen nahe an seinem erwarteten Wert liegt, der zentrale Grenzwertsatz jedoch besagt, dass der Durchschnitt vieler Versuche liegt Proben nähern sich einer Normalverteilung an.