Wahrscheinlichkeitsformeln

Dieser Artikel zeigt, was Wahrscheinlichkeitsformeln sind. So finden Sie alle Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie und darüber hinaus Beispiele für deren Anwendung.

Formel der Laplace-Regel

Die Laplace-Regel, auch Laplace-Gesetz genannt, ist eine Regel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses.

Die Laplace-Regel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses gleich der Anzahl günstiger Fälle dividiert durch die Gesamtzahl möglicher Fälle ist. Um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu berechnen, müssen daher die Fälle, die dieses Ereignis erfüllen, durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse geteilt werden.

Somit lautet die Formel für die Laplace-Regel wie folgt:

Formel für das inverse Ereignis

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses. Mit anderen Worten: Die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses plus der Wahrscheinlichkeit seines Gegenereignisses beträgt 1.

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 5 zu würfeln, 0,167, da wir die Wahrscheinlichkeit, jede andere Zahl zu würfeln, mithilfe dieser Wahrscheinlichkeitseigenschaft bestimmen können:

Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, auch bedingte Wahrscheinlichkeit genannt, ist ein statistisches Maß, das die Wahrscheinlichkeit angibt, dass Ereignis A eintritt, wenn ein anderes Ereignis B eintritt. Das heißt, die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, nachdem Ereignis B bereits eingetreten ist.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zwischen Ereignis A und Ereignis B dividiert durch die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B. Daher lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit wie folgt:

Formel für die Vereinigung von Ereignissen

Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist die Menge der Ereignisse, die in A, in B oder in beiden vorkommen. Die Vereinigung zweier Ereignisse wird mit dem Symbol ⋃ ausgedrückt, daher wird die Vereinigung der Ereignisse A und B als A⋃B geschrieben.

Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist gleich der Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses plus der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses minus der Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts der Ereignisse.

Mit anderen Worten lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Wenn die beiden Ereignisse jedoch nicht kompatibel sind, ist der Schnittpunkt zwischen den beiden Ereignissen Null. Daher wird die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird.

Formel für die Schnittmenge von Ereignissen

Der Schnittpunkt der Ereignisse A und B wird durch alle Ereignisse gebildet, die gleichzeitig zu A und B gehören, er wird durch das Symbol ⋂ ausgedrückt. Somit wird der Schnittpunkt der Ereignisse A und B als A⋂B geschrieben.

Die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses bei gegebenem ersten Ereignis.

Daher lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

Wenn die beiden Ereignisse jedoch unabhängig sind, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eintritt. Daher lautet die Formel für die Schnittwahrscheinlichkeit der beiden unabhängigen Ereignisse wie folgt:

Formel für den Unterschied der Ereignisse

Die Differenzwahrscheinlichkeit zwischen zwei Ereignissen bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ohne dass gleichzeitig das andere Ereignis eintritt.

Daher ist die Wahrscheinlichkeit der Differenz der AB-Erfolge gleich der Wahrscheinlichkeit des Erfolgs A abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge zwischen dem A-Erfolg und dem B-Erfolg. Die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Differenz der Erfolge lautet also die nächste:

Formel für den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz

Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz ist ein Gesetz, das es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das nicht Teil eines Stichprobenraums ist, aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse in diesem Stichprobenraum zu berechnen.

Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz besagt, dass bei einer gegebenen Menge von Ereignissen {A ₁ , A ₂ ,…, A _n }, die eine Partition auf dem Stichprobenraum bilden, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B gleich der Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ist Ereignis P(A _i ) durch die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A _i ).

Daher lautet die Formel für den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz :

Formel des Satzes von Bayes

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Satz von Bayes ein Gesetz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn a priori Informationen über dieses Ereignis bekannt sind.

Der Satz von Bayes besagt, dass wir bei einem Beispielraum, der aus einer Menge sich gegenseitig ausschließender Ereignisse {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n } besteht, deren Wahrscheinlichkeiten nicht Null sind, und einem anderen Ereignis B die Bedingung mathematisch in Beziehung setzen können Wahrscheinlichkeit von A _i bei gegebenem Ereignis B mit der bedingten Wahrscheinlichkeit von B bei gegebenem A _i .

Die Formel für den Satz von Bayes lautet also wie folgt:

Übersichtstabelle aller Wahrscheinlichkeitsformeln

Abschließend hinterlassen wir Ihnen als Zusammenfassung eine Tabelle mit allen Wahrscheinlichkeitsformeln.