Konfidenzintervall für einen mittelwert

Ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich einen Populationsmittelwert mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation für die Erstellung eines Konfidenzintervalls für einen Durchschnitt.
• Die Formel zum Erstellen eines Konfidenzintervalls für einen Mittelwert.
• Ein Beispiel für die Berechnung eines Konfidenzintervalls für einen Mittelwert.
• So interpretieren Sie ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert.

Konfidenzintervall für einen Durchschnitt: Motivation

Der Grund, warum wir überhaupt ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert erstellen möchten, besteht darin, dass wir unsere Unsicherheit bei der Schätzung eines Populationsmittelwerts erfassen möchten.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir möchten das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart in Florida schätzen. Da es in Florida Tausende von Schildkröten gibt, wäre es äußerst zeitaufwändig und teuer, jede Schildkröte einzeln zu wiegen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von 50 Schildkröten nehmen und das Durchschnittsgewicht der Schildkröten in dieser Stichprobe verwenden, um den wahren Bevölkerungsdurchschnitt zu schätzen:

Das Problem besteht darin, dass nicht garantiert werden kann, dass das Durchschnittsgewicht der Stichprobe genau mit dem Durchschnittsgewicht der gesamten Bevölkerung übereinstimmt. Um diese Unsicherheit zu erfassen, können wir ein Konfidenzintervall erstellen, das einen Wertebereich enthält, der wahrscheinlich das tatsächliche Durchschnittsgewicht der Schildkröten in der Population enthält.

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: Formel

Wir verwenden die folgende Formel, um ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert zu berechnen:

Konfidenzintervall = x +/- z*(s/√ n )

Gold:

• x : Stichprobenmittel
• z: der gewählte z-Wert
• s: Stichprobenstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Der von Ihnen verwendete Z-Wert hängt vom gewählten Konfidenzniveau ab. Die folgende Tabelle zeigt den Z-Wert, der den häufigsten Konfidenzniveauoptionen entspricht:

Beachten Sie, dass höhere Konfidenzniveaus größeren Z-Werten entsprechen, was zu größeren Konfidenzintervallen führt. Das bedeutet, dass beispielsweise ein 99 %-Konfidenzintervall breiter ist als ein 95 %-Konfidenzintervall für denselben Datensatz.

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: Beispiel

Angenommen, wir sammeln eine Zufallsstichprobe von Schildkröten mit den folgenden Informationen:

• Stichprobengröße n = 25
• Durchschnittliches Probengewicht x = 300
• Stichprobenstandardabweichung s = 18,5

So finden Sie verschiedene Konfidenzintervalle für das tatsächliche Durchschnittsgewicht der Bevölkerung:

90 %-Konfidenzintervall: 300 +/- 1,645*(18,5/√ 25 ) = [293,91, 306,09]

95 %-Konfidenzintervall: 300 +/- 1,96*(18,5/√ 25 ) = [292,75, 307,25]

99 %-Konfidenzintervall: 300 +/- 2,58*(18,5/√ 25 ) = [ 290,47 , 309,53]

Hinweis: Sie können diese Konfidenzintervalle auch mit dem statistischen Konfidenzintervallrechner ermitteln.

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: Interpretation

Die Art und Weise, wie wir ein Konfidenzintervall interpretieren würden, ist:

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 95 %, dass das Konfidenzintervall von [292,75, 307,25] das wahre Durchschnittsgewicht der Schildkrötenpopulation enthält.

Anders ausgedrückt: Es besteht nur eine 5-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit außerhalb des 95-Prozent-Konfidenzintervalls liegt. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass das tatsächliche Durchschnittsgewicht der Schildkrötenpopulation mehr als 307,25 Pfund oder weniger als 292,75 Pfund beträgt, beträgt nur 5 %.