Eine einführung in die negative binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe von Bernoulli-Versuchen eine bestimmte Anzahl von Fehlschlägen zu erleben, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen erzielt wird.

Ein Bernoulli-Versuch ist ein Experiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen – „Erfolg“ oder „Misserfolg“ – und die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jeder Durchführung des Experiments gleich.

Ein Beispiel für einen Bernoulli-Aufsatz ist ein Münzwurf. Die Münze kann nur auf zwei Köpfen landen (wir könnten Kopf als „Treffer“ und Zahl als „Misserfolg“ bezeichnen) und die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Wurf beträgt 0,5, vorausgesetzt, die Münze ist fair.

Wenn eine Zufallsvariable _

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Gold:

• k: Anzahl der Ausfälle
• r: Anzahl der Erfolge
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch
• _k+r-1 C _k : Anzahl der Kombinationen von (k+r-1) k auf einmal genommenen Dingen

Nehmen wir zum Beispiel an, wir werfen eine Münze und definieren ein „erfolgreiches“ Ereignis als „Kopflandung“. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sechs Misserfolge gibt, bevor es insgesamt vier Erfolge gibt?

Um diese Frage zu beantworten, können wir die negative Binomialverteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• k: Anzahl der Ausfälle = 6
• r: Anzahl der Erfolge = 4
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch = 0,5

Wenn wir diese Zahlen in die Formel einsetzen, erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeit:

P(X=6 Ausfälle) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

Eigenschaften der negativen Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung hat die folgenden Eigenschaften:

Die durchschnittliche Anzahl von Fehlern, die wir erwarten, bevor wir r Erfolge erzielen, beträgt pr/(1-p) .

Die Varianz der Anzahl der erwarteten Fehler, bevor r Erfolge erzielt werden, beträgt pr / (1-p) ² .

Nehmen wir zum Beispiel an, wir werfen eine Münze und definieren ein „erfolgreiches“ Ereignis als „Kopflandung“.

Die durchschnittliche Anzahl an Fehlschlägen (z. B. Schwanzlandung), die wir erwarten würden, bevor wir 4 Erfolge erzielen, wäre pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

Die Varianz der Anzahl der Fehler, die wir erwarten, bevor wir 4 Erfolge erzielen, wäre pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Probleme in der Praxis der negativen Binomialverteilung

Verwenden Sie die folgenden Übungsaufgaben, um Ihr Wissen über die negative Binomialverteilung zu testen.

Hinweis: Zur Berechnung der Antworten auf diese Fragen verwenden wir den Rechner für die negative Binomialverteilung .

Problem 1

Frage: Angenommen, wir werfen eine Münze und definieren ein „erfolgreiches“ Ereignis als „Kopflandung“. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es drei Misserfolge gibt, bevor es insgesamt vier Erfolge gibt?

Antwort: Unter Verwendung des Rechners für die negative Binomialverteilung mit k = 3 Fehlschlägen, r = 4 Erfolgen und p = 0,5 finden wir, dass P(X=3) = 0,15625 ist.

Problem 2

Frage: Angenommen, wir gehen von Tür zu Tür und verkaufen Süßigkeiten. Wir betrachten es als „Erfolg“, wenn jemand einen Schokoriegel kauft. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person einen Schokoriegel kauft, beträgt 0,4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es 8 Misserfolge gibt, bevor es insgesamt 5 Erfolge gibt?

Antwort: Unter Verwendung des Rechners für die negative Binomialverteilung mit k = 8 Fehlschlägen, r = 5 Erfolgen und p = 0,4 finden wir, dass P(X=8) = 0,08514 ist.

Problem 3

Frage: Angenommen, wir würfeln und definieren einen „erfolgreichen“ Wurf als Landung auf der Zahl 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel bei einem bestimmten Wurf auf einer 5 landet, beträgt 1/6 = 0,167. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es vier Misserfolge gibt, bevor es insgesamt drei Erfolge gibt?

Antwort: Unter Verwendung des Rechners für die negative Binomialverteilung mit k = 4 Fehlschlägen, r = 3 Erfolgen und p = 0,167 finden wir, dass P(X=4) = 0,03364 ist.