Mathematische erwartung (oder erwartungswert)

In diesem Artikel wird erklärt, was die mathematische Erwartung (oder der erwartete Wert) einer Zufallsvariablen ist und wie man sie berechnet. Sie finden eine gelöste Übung zur mathematischen Hoffnung. Darüber hinaus können Sie den erwarteten Wert jedes Datensatzes mit einem Online-Rechner ermitteln.

Was ist eine mathematische Erwartung (oder ein erwarteter Wert)?

In der Statistik ist der Erwartungswert , auch Erwartungswert genannt, eine Zahl, die den Durchschnittswert einer Zufallsvariablen darstellt. Die mathematische Erwartung ist gleich der Summe aller Produkte, die aus den Werten zufälliger Ereignisse und ihren jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten gebildet werden.

Das Symbol für die Erwartung ist der Großbuchstabe E. Die Erwartung der statistischen Variablen X wird beispielsweise durch E(X) dargestellt.

Ebenso stimmt der Wert der mathematischen Erwartung eines Datensatzes mit seinem Mittelwert (Populationsmittel) überein.

So berechnen Sie die mathematische Erwartung

Um den mathematischen Erwartungswert einer diskreten Variablen zu berechnen, müssen die folgenden Schritte ausgeführt werden:

1. Multiplizieren Sie jedes mögliche Ereignis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit.
2. Addieren Sie alle im vorherigen Schritt erhaltenen Ergebnisse.
3. Der erhaltene Wert ist die mathematische Erwartung (oder der erwartete Wert) der Variablen.

Somit lautet die Formel zur Berechnung des mathematischen Erwartungswerts (oder Erwartungswerts) einer diskreten Variablen wie folgt:

👉 Mit dem Rechner unten können Sie den Erwartungswert eines beliebigen Datensatzes berechnen.

Beachten Sie, dass die obige Formel nur verwendet werden kann, wenn die Zufallsvariable (in den meisten Fällen) diskret ist. Wenn die Variable jedoch stetig ist, müssen wir die folgende Formel verwenden, um den mathematischen Erwartungswert zu erhalten:

Gold

ist die Dichtefunktion der kontinuierlichen Variablen

Beispiel einer mathematischen Erwartung

In Anbetracht der Definition von Erwartung (oder Erwartungswert) finden Sie unten ein konkretes Beispiel, damit Sie sehen können, wie die Berechnung durchgeführt wird.

• Eine Person nimmt an einem Spiel teil, bei dem sie Geld gewinnen oder verlieren kann, basierend auf der Zahl, die beim Würfeln erscheint. Bei einer 1 gewinnen Sie 800 $, bei einer 2 oder 3 verlieren Sie 500 $ und bei einer 4, 5 oder 6 gewinnen Sie 100 $. Der Preis für die Teilnahme beträgt 50 $. Würden Sie die Teilnahme an diesem Wahrscheinlichkeitsspiel empfehlen?

Als Erstes muss die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses bestimmt werden. Da ein Würfel sechs Seiten hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine beliebige Zahl zu würfeln:

Die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses beträgt daher:

Nachdem wir nun die Wahrscheinlichkeit des Eintretens jedes Ereignisses kennen, wenden wir die mathematische Formel für die Erwartung an:

Und wir berechnen den mathematischen Erwartungswert (oder Erwartungswert):

Der erwartete Wert ist geringer als der Preis für die Teilnahme an diesem Spiel. Daher ist es besser, nicht zu spielen, da Sie auf lange Sicht Geld verlieren werden. Es kann sein, dass Sie einen großen Gewinn erzielen, wenn Sie erst bei 1 teilnehmen, aber die Wahrscheinlichkeit, dass Sie auf lange Sicht Verluste erleiden, ist hoch.

Es ist zu beachten, dass das Ergebnis einer mathematischen Erwartung manchmal ein unmöglicher Wert ist. In diesem Fall können beispielsweise 16,67 $ nicht erzielt werden.

Erwartungsrechner

Geben Sie eine Reihe statistischer Daten in den folgenden Rechner ein, um den erwarteten Wert zu berechnen. Sie müssen in das erste Feld den Wert jedes Ereignisses und in das zweite Feld die Eintrittswahrscheinlichkeit in derselben Reihenfolge eingeben.

Die Daten müssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung

Die Eigenschaften der mathematischen Erwartung sind wie folgt:

• Die mathematische Erwartung einer Konstante ist sie selbst.

• Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen multipliziert mit einem Skalar ist gleich dem Erwartungswert dieser Variablen multipliziert mit diesem Skalar.

• Der mathematische Erwartungswert der Summe zweier Variablen entspricht der Summe der mathematischen Erwartungen jeder Variablen.

• Im Allgemeinen führt die Multiplikation zweier Variablen zu einer unterschiedlichen mathematischen Erwartung. Das Ergebnis ist nur dann dasselbe, wenn die Variablen unabhängig sind.

• Wenn alle Werte einer Variablen größer oder gleich Null sind, dann ist der mathematische Erwartungswert dieser Variablen ebenfalls positiv oder gleich Null.

• Wenn alle Werte einer Variablen kleiner sind als alle Werte einer anderen Variablen, stehen die Erwartungen der beiden Variablen in derselben Beziehung.

• Wenn wir wissen, dass eine Variable durch zwei Werte begrenzt ist, ist logischerweise auch ihr mathematischer Erwartungswert begrenzt.

Wozu dient die mathematische Erwartung?

In diesem letzten Abschnitt werden wir tiefer in die Bedeutung der mathematischen Hoffnung eintauchen. Konkret werden wir sehen, wofür dieses statistische Maß verwendet wird, und so das Konzept besser verstehen.

Die mathematische Erwartung (oder der erwartete Wert) wird verwendet, um einen Wert für den Betrag zu ermitteln, der langfristig in einem probabilistischen Raum voraussichtlich gewonnen oder verloren wird. Mit anderen Worten: Die mathematische Erwartung gibt die Rendite an, die langfristig erzielt wird.

Wenn eine Person über eine Investition nachdenkt, beispielsweise den Kauf von Aktien eines Unternehmens, ist einer der zu berücksichtigenden Parameter die mathematische Erwartung. Denn wenn Sie diese Investition mehrmals tätigen würden, wäre die wirtschaftliche Rendite, die Sie erzielen würden, der Wert der mathematischen Erwartung. Er kann als Durchschnitt der erzielten Vorteile betrachtet werden.

Ebenso wird die mathematische Erwartung auch in anderen Bereichen wie der Ökonometrie, der Quantenphysik, dem Handel und sogar der Biologie verwendet.