Binomialverteilung vs. poisson-verteilung: ähnlichkeiten und unterschiede

Zwei ähnliche Verteilungen in der Statistik sind die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung .

Dieses Tutorial bietet eine kurze Erklärung jeder Verteilung sowie der Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den beiden.

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, in n Binomialexperimenten k Erfolge zu erzielen.

Wenn eine Zufallsvariable X einer Binomialverteilung folgt, kann die Erfolgswahrscheinlichkeit von X = k mit der folgenden Formel ermittelt werden:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Gold:

• n: Anzahl der Versuche
• k: Anzahl der Erfolge
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch
• _n C _k : die Anzahl der Möglichkeiten, in n Versuchen k Erfolge zu erzielen

Angenommen, wir werfen dreimal eine Münze. Wir können die obige Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, bei diesen drei Würfen 0 Köpfe zu bekommen:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

Die Fischverteilung

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in einem festen Zeitintervall k Ereignisse auftreten.

Wenn eine Zufallsvariable X einer Poisson-Verteilung folgt, kann die Wahrscheinlichkeit, dass X = k Ereignisse sind, mit der folgenden Formel ermittelt werden:

P(X=k) = λ ^k * e ^{– λ} / k!

Gold:

• λ: durchschnittliche Anzahl von Erfolgen, die während eines bestimmten Intervalls auftreten
• k: Anzahl der Erfolge
• e: eine Konstante, die ungefähr 2,71828 entspricht

Angenommen, in einem bestimmten Krankenhaus gibt es durchschnittlich zwei Geburten pro Stunde. Mit der obigen Formel können wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, in einer bestimmten Stunde drei Geburten zu erleben:

P(X=3) = 2 ³ * e ^{– 2} / 3! = 0,18045

Ähnlichkeiten und Unterschiede

Binomial- und Poisson-Verteilungen weisen die folgenden Gemeinsamkeiten auf:

• Beide Verteilungen können verwendet werden, um die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses zu modellieren.
• In beiden Verteilungen wird davon ausgegangen, dass die Ereignisse unabhängig sind.

Die Verteilungen weisen den folgenden wesentlichen Unterschied auf:

• Bei einer Binomialverteilung gibt es eine feste Anzahl von Versuchen (z. B. wirf eine Münze dreimal)
• In einer Poisson-Verteilung kann es eine beliebige Anzahl von Ereignissen geben, die während eines bestimmten Zeitintervalls auftreten (z. B. wie viele Kunden kommen in einer bestimmten Stunde in einem Geschäft an?)

Praktische Fragen: Wann man die einzelnen Distributionen verwenden sollte

Bestimmen Sie in jeder der folgenden Übungsaufgaben, ob die Zufallsvariable einer Binomialverteilung oder einer Poisson-Verteilung folgt.

Problem 1: Netzwerkausfälle

Ein Technologieunternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit modellieren, dass in einer bestimmten Woche eine bestimmte Anzahl von Netzwerkausfällen auftritt. Angenommen, wir wissen, dass jede Woche durchschnittlich 4 Netzwerkausfälle auftreten. Sei X die Anzahl der Netzwerkausfälle in einer bestimmten Woche. Welcher Verteilungsart folgt die Zufallsvariable X ?

Antwort : Dies ist keine Binomialverteilung, da es keine feste Anzahl von Versuchen gibt.

Problem 2: Freiwürfe schießen

Tyler macht 70 % aller Freiwürfe, die er versucht. Angenommen, er macht 10 Freiwürfe. Sei X die Häufigkeit, mit der Tyler in den 10 Versuchen einen Korb wirft. Welcher Verteilungsart folgt die Zufallsvariable X ?

Antwort :

Zusätzliche Ressourcen

Binomialverteilungsrechner
Fischverteilungsrechner