Die allgemeine multiplikationsregel (erklärung und beispiele)

Die allgemeine Multiplikationsregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten zweier beliebiger Ereignisse A und B wie folgt berechnet werden kann:

P(A und B) = P(A) * P(B|A)

Der vertikale Balken | bedeutet „gegeben“. Somit kann P(B|A) gelesen werden als „die Wahrscheinlichkeit, dass B eintreten wird, vorausgesetzt , dass A eingetreten ist.“

Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann ist P(B|A) einfach gleich P(B) und die Regel kann wie folgt vereinfacht werden:

P(A und B) = P(A) * P(B)

Sehen wir uns einige Beispiele unabhängiger und abhängiger Ereignisse an, um zu sehen, wie wir diese allgemeine Multiplikationsregel in der Praxis anwenden können.

Die allgemeine Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse

Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie die allgemeine Multiplikationsregel verwendet wird, um Wahrscheinlichkeiten für zwei abhängige Ereignisse zu ermitteln. In jedem Beispiel wird die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des zweiten Ereignisses durch das Ergebnis des ersten Ereignisses beeinflusst.

Beispiel 1: Kugeln in einer Urne

Eine Urne enthält 4 rote Kugeln und 3 grüne Kugeln. Bob wählt zufällig zwei Kugeln aus der Urne aus, ohne sie zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 rote Kugeln wählt?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass er beim ersten Versuch eine rote Kugel auswählt, beträgt 4/7. Sobald dieser Ball entfernt wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er beim zweiten Versuch einen roten Ball auswählt, 3/6. Die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 rote Kugeln auswählt, lässt sich also wie folgt berechnen:

P (beide rot) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249

Beispiel 2: Karten in einem Stapel

Ein Kartenspiel enthält 26 schwarze Karten und 26 rote Karten. Debbie wählt zufällig 2 Karten aus dem Stapel aus, ohne sie zu ersetzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie 2 rote Karten wählt?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass sie beim ersten Versuch eine rote Karte erhält, beträgt 26/52. Sobald diese Karte entfernt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie im zweiten Versuch eine rote Karte wählt, 25/51. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwei rote Karten erhält, lässt sich also wie folgt berechnen:

P (beide rot) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451

Die allgemeine Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie die allgemeine Multiplikationsregel verwendet wird, um Wahrscheinlichkeiten für zwei unabhängige Ereignisse zu ermitteln. In jedem Beispiel wird die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des zweiten Ereignisses nicht durch das Ergebnis des ersten Ereignisses beeinflusst.

Beispiel 1: Zwei Münzen werfen

Angenommen, wir ziehen zwei Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Münzen Kopf ergeben?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Münze „Kopf“ zeigt, beträgt 1/2. Unabhängig davon, auf welcher Seite die erste Münze landet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Münze „Kopf“ landet, ebenfalls 1/2. Somit kann die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Münzen Kopf ergeben, wie folgt berechnet werden:

P (beide landen auf dem Kopf) = 1/2 * 1/2 = 0,25

Beispiel 2: Wirf zwei Würfel

Angenommen, wir würfeln mit zwei Würfeln gleichzeitig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel auf der Zahl 1 landen?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Würfel auf „1“ fällt, beträgt 1/6. Unabhängig davon, auf welcher Seite der erste Würfel landet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Würfel auf „1“ landet, ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel auf „1“ landen, lässt sich also wie folgt berechnen:

P(Beide landen auf „1“) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278