Arithmetischer durchschnitt

Von Dr. Benjamin Anderson August 6, 2023 Statistiken Keine Kommentare

Hier erklären wir, was das arithmetische Mittel ist und wie es berechnet wird. Sie finden Beispiele für arithmetische Mittel und sogar einen Rechner, mit dem Sie das arithmetische Mittel jeder statistischen Stichprobe ermitteln können. Schließlich können Sie sehen, welche Eigenschaften diese Art von Durchschnitt hat und wie der arithmetische Durchschnitt aus in Intervallen gruppierten Daten ermittelt wird.

Was ist das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel ist ein zentrales Wertemerkmal einer Menge statistischer Daten. Zur Berechnung des arithmetischen Mittels werden alle Werte addiert und durch die Gesamtzahl der Daten dividiert.

Darüber hinaus ist das arithmetische Mittel einer der Hauptindikatoren für die statistische Untersuchung einer Stichprobe.

Die Formel für das arithmetische Mittel lautet daher wie folgt:

Das Symbol für das arithmetische Mittel ist ein horizontales Band über dem Buchstaben x.

$(\overline{x}).$

Sie können den Stichprobenmittelwert auch mit dem Mittelwertsymbol vom Grundgesamtheitsmittelwert unterscheiden: Der Mittelwert einer Stichprobe wird mit dem Symbol ausgedrückt

$\overline{x}$

Für den Durchschnitt einer Bevölkerung verwenden wir hingegen den griechischen Buchstaben

$\mu.$

Es ist zu beachten, dass das arithmetische Mittel einer Grundgesamtheit dem Erwartungswert der statistischen Variablen entspricht.

Das arithmetische Mittel, auch arithmetisches Mittel genannt, ist nicht die einzige Art von Mittelwert, die es gibt, es gibt unter anderem auch den gewichteten Mittelwert, den quadratischen Mittelwert, den geometrischen Mittelwert und den harmonischen Mittelwert. Wie jeder von ihnen berechnet wird, können Sie in der Suchmaschine unserer Website sehen.

So berechnen Sie das arithmetische Mittel

Zur Berechnung des arithmetischen Mittels müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

Fügen Sie alle statistischen Daten aus der Stichprobe hinzu.
Teilen Sie die vorherige Summe durch die Gesamtzahl der Daten.
Das erhaltene Ergebnis ist das arithmetische Mittel der statistischen Stichprobe.

👉 Mit dem Rechner unten können Sie das arithmetische Mittel eines beliebigen Datensatzes berechnen.

Beispiel für die Berechnung des arithmetischen Mittels

Angesichts der Definition des arithmetischen Mittels werden wir sehen, wie wir das arithmetische Mittel eines Datensatzes ermitteln, indem wir ein Beispiel Schritt für Schritt lösen.

Ein Schüler hat im Laufe eines Schuljahres folgende Noten erreicht: in Mathematik eine 9, in Sprache eine 7, in Geschichte eine 6, in Wirtschaftswissenschaften eine 8 und in Naturwissenschaften eine 7,5. Wie hoch ist der arithmetische Durchschnitt aller Ihrer Noten?

Um den arithmetischen Durchschnitt zu ermitteln, müssen wir alle Noten addieren und dann durch die Gesamtzahl der Fächer im Kurs dividieren, also 5. Daher wenden wir die Formel für den arithmetischen Durchschnitt an:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{N}$

Wir setzen die Daten in die Formel ein und berechnen den arithmetischen Durchschnitt:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

Wie Sie sehen, wird im arithmetischen Mittel jedem Wert das gleiche Gewicht zugewiesen, das heißt, jedes Datenelement hat im Ganzen das gleiche Gewicht.

Arithmetischer Durchschnittsrechner

Geben Sie Daten aus einer beliebigen statistischen Stichprobe in den folgenden Rechner ein, um deren arithmetisches Mittel zu berechnen. Die Daten müssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.

Arithmetisches Mittel für gruppierte Daten

Mit gruppierten Daten meinen wir, dass die Daten als Gruppen oder Intervalle strukturiert sind. Dies geschieht normalerweise, wenn die statistische Stichprobengröße sehr groß ist.

Daher variiert die Berechnung des arithmetischen Mittels etwas, wenn die Daten gruppiert werden, obwohl das Konzept dasselbe ist.

Um das arithmetische Mittel der in Intervallen gruppierten Daten zu berechnen , muss der Klassenwert jeder Gruppe mit ihrer absoluten Häufigkeit multipliziert und dann durch die Summe aller absoluten Häufigkeiten dividiert werden.

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{x_1\cdot f_1+ x_2\cdot f_2+\dots +x_N\cdot f_N}{N}$

Hinweis: Der Klassenwert eines Intervalls wird berechnet, indem die Summe der Endpunkte des Intervalls durch zwei geteilt wird. Die Klassennotiz des Intervalls [3,7) wäre beispielsweise:

$\cfrac{3+7}{2}=5$

Damit Sie sehen können, wie das geht, finden Sie unten eine gelöste Übung zum arithmetischen Mittel von in Intervallen gruppierten Daten:

Wir wollen das Gewicht einer Gruppe statistisch untersuchen, dazu haben wir eine repräsentative Gruppe von 81 Personen befragt und folgende Daten erhalten:

Dabei ist x _i der Klassenwert jeder Gruppe und f _i ihre absolute Häufigkeit, also die Anzahl der Personen, die in diesem Intervall ein Gewicht haben.

Um das arithmetische Mittel zu ermitteln, muss in der Häufigkeitstabelle eine Spalte hinzugefügt werden, die das Produkt der Klassennotizen mit ihren jeweiligen absoluten Häufigkeiten darstellt:

Arithmetische Mittelübung für gruppierte Daten gelöst

Um das arithmetische Mittel der gruppierten Daten zu berechnen, dividieren Sie einfach die Summe der Produkte der Klassennotizen und ihrer Häufigkeiten durch die Gesamtzahl der Daten:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{4985}{81}=61,54 \text{ kg}$

Eigenschaften des arithmetischen Mittels

Der arithmetische Durchschnitt weist folgende Merkmale auf:

Die Summe der Abweichungen aller Daten einer Verteilung vom Mittelwert ergibt Null.

$\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)=0$

Wenn wir allen Daten in einer Stichprobe den gleichen Betrag hinzufügen, erhöht sich der Stichprobenmittelwert um diesen Betrag.

Das Gleiche passiert mit der Multiplikation: Wenn man alle Werte einer Stichprobe mit einer Zahl multipliziert, wird der Stichprobenmittelwert mit dieser Zahl multipliziert.

Das arithmetische Mittel kann nur in quantitativen Variablen berechnet werden. Mit anderen Worten: Sie können nicht den Durchschnitt qualitativer Variablen bilden.

Das arithmetische Mittel ist immer ein Wert zwischen dem Minimum und dem Maximum einer Verteilung.

$\text{min}\{x_1,x_2,...,x_N\}\leq \cfrac{x_1+\dots +x_N}{N}\leq \text{max}\{x_1,x_2,...,x_N\}$

Diese Art des Durchschnitts reagiert sehr empfindlich auf sehr hohe oder sehr niedrige Werte, sodass ein Ausreißer das Ergebnis des arithmetischen Mittels erheblich verändert.

Das arithmetische Mittel eines Datensatzes ist immer gleich oder größer als das geometrische Mittel desselben Datensatzes.

$\displaystyle\frac{x_1+x_2+\dots+x_N}{N}\geq \sqrt[N]{x_1+x_2+\dots+x_N}$

Berechnen Sie das arithmetische Mittel mit Excel

Die Berechnung des arithmetischen Mittels in Excel ist sehr einfach, da Sie lediglich die Daten in ein Blatt eingeben und die Funktion DURCHSCHNITT verwenden müssen.

Um beispielsweise das arithmetische Mittel der Daten aus der ersten gelösten Aufgabe, die wir erklärt haben, zu ermitteln, kopieren Sie einfach alle Daten in ein Excel-Dokument und schreiben Sie die folgende Formel in eine Zelle: =AVERAGE(9;7;5; 8;7 ,5) . Die Funktion gibt das arithmetische Mittel der Daten zurück, das 7,3 beträgt.

Offensichtlich ist es viel schneller, das arithmetische Mittel bestimmter Zahlen mit dem Excel-Programm zu ermitteln, als es von Hand zu berechnen, insbesondere wenn die Stichprobengröße sehr groß ist.

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen