Axiome der wahrscheinlichkeit

Dieser Artikel erklärt, was die Axiome der Wahrscheinlichkeit sind. Sie finden hier die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit, die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsaxiome und ein Beispiel für ihre Anwendung.

Was sind die 3 Axiome der Wahrscheinlichkeit?

Die Wahrscheinlichkeitsaxiome sind:

1. Wahrscheinlichkeitsaxiom 1 : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann nicht negativ sein.
2. Wahrscheinlichkeitsaxiom 2 : Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1.
3. Wahrscheinlichkeitsaxiom 3 : Die Wahrscheinlichkeit einer Reihe exklusiver Ereignisse ist gleich der Summe aller Wahrscheinlichkeiten.

Die drei Wahrscheinlichkeitsaxiome werden auch als Kolmogorov-Axiome bezeichnet, da sie 1933 von diesem russischen Mathematiker formuliert wurden.

Die einzelnen Arten von Wahrscheinlichkeitsaxiomen werden im Folgenden ausführlicher erläutert.

Axiom 1

Das erste Wahrscheinlichkeitsaxiom besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses nicht negativ sein kann und ihr Wert daher zwischen 0 und 1 liegt.

Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Null ist, bedeutet dies, dass es unmöglich ist, dass es eintritt. Wenn andererseits die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 1 ist, bedeutet dies, dass dieses Ereignis mit Sicherheit eintreten wird. Je höher also der Wahrscheinlichkeitswert eines Ereignisses ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass es eintritt.

Axiom 2

Das zweite Wahrscheinlichkeitsaxiom besagt, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses gleich 1 ist.

Ein bestimmtes Ereignis ist das Ergebnis einer zufälligen Erfahrung, die immer passieren wird. Daher kann ein sicheres Ereignis auch als Probenraum eines randomisierten Experiments definiert werden.

Axiom 3

Das dritte Wahrscheinlichkeitsaxiom besagt, dass bei einer gegebenen Menge exklusiver Ereignisse die gemeinsame Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse der Summe aller Eintrittswahrscheinlichkeiten entspricht.

Zwei oder mehr Ereignisse sind exklusiv, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können. Daher ist es zur Berechnung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit nicht erforderlich, die Wahrscheinlichkeit ihres gleichzeitigen Auftretens zu berücksichtigen.

Beispiel für Wahrscheinlichkeitsaxiome

Als Beispiel analysieren wir im Folgenden einige Ergebnisse des Würfelexperiments, damit Sie sehen können, dass die Wahrscheinlichkeitsaxiome erfüllt sind.

Wenn Sie einen Würfel werfen, gibt es sechs mögliche Ergebnisse:

In diesem Fall sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens jedes Ergebnisses zu bestimmen, müssen wir lediglich die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ermitteln. Daher wenden wir die Laplace-Regelformel an, um die Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses zu berechnen:

Da dann die Wahrscheinlichkeit, jedes Ergebnis zu erhalten, positiv ist, ist das erste Wahrscheinlichkeitsaxiom erfüllt.

Schauen wir uns nun das zweite Axiom an. In diesem Fall erhält ein bestimmtes Ereignis „eine Zahl von 1 bis 6“, also addieren wir die Wahrscheinlichkeit, jedes Ergebnis zu erhalten:

Somit ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses gleich 1, daher ist auch das zweite Wahrscheinlichkeitsaxiom erfüllt.

Abschließend bleibt nur noch die Überprüfung des dritten Wahrscheinlichkeitsaxioms. Die unterschiedlichen Ergebnisse, die wir durch Würfeln erhalten können, schließen sich gegenseitig aus, denn wenn wir beispielsweise eine 2 würfeln, können wir keine 5 mehr erhalten. Daher kann die Berechnung, um zwei beliebige Zahlen zu erhalten, auf zwei Arten durchgeführt werden: mit Laplace-Regel oder durch Addieren der Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses.

In beiden Fällen erhalten wir den gleichen Wahrscheinlichkeitswert, sodass auch das dritte Wahrscheinlichkeitsaxiom wahr ist.

Aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen abgeleitete Eigenschaften

Aus den drei Wahrscheinlichkeitsaxiomen können wir folgende Eigenschaften ableiten:

1. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.



2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich oder kleiner als 1.





3. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit seines komplementären Ereignisses .



4. Wenn ein Ereignis in einem anderen Ereignis enthalten ist, muss die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses sein.



5. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten minus der Wahrscheinlichkeit ihres Schnittpunkts.



6. Bei einer Menge von zwei mal zwei inkompatiblen Ereignissen wird ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird.



7. Wenn der Probenraum endlich ist und ein Ereignis S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k } ist, entspricht die Eintrittswahrscheinlichkeit dieses Ereignisses dem folgenden Ausdruck: