Zentraler grenzwertsatz: die vier zu erfüllenden bedingungen

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Stichprobenverteilung eines Stichprobenmittelwerts annähernd normal ist, wenn die Stichprobengröße groß genug ist, auch wenn die Grundgesamtheitsverteilung nicht normal ist .

Um den zentralen Grenzwertsatz anzuwenden, müssen vier Bedingungen erfüllt sein:

1. Randomisierung : Die Daten sollten zufällig ausgewählt werden, sodass jedes Mitglied einer Population die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, in die Stichprobe aufgenommen zu werden.

2. Unabhängigkeit: Die Werte der Stichproben müssen unabhängig voneinander sein.

3. Die 10 %-Bedingung: Bei ersatzloser Stichprobenziehung sollte die Stichprobengröße 10 % der Grundgesamtheit nicht überschreiten.

4. Bedingung für eine große Stichprobe: Die Stichprobengröße sollte groß genug sein.

Dieses Tutorial bietet eine kurze Erklärung jeder Bedingung.

Bedingung 1: Randomisierung

Um den zentralen Grenzwertsatz anzuwenden, müssen die von uns verwendeten Daten mithilfe einer Wahrscheinlichkeitsstichprobenmethode zufällig aus der Grundgesamtheit entnommen werden.

In der Statistik gibt es zwei Arten von Stichprobenverfahren :

1. Wahrscheinlichkeitsstichprobenmethoden: Stichprobenmethoden, bei denen jedes Mitglied einer Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, in die Stichprobe aufgenommen zu werden. Beispiele beinhalten:

• Einfache Zufallsstichprobe
• Geschichtete Zufallsstichprobe
• Geclusterte Zufallsstichprobe
• Systematische Zufallsauswahl

2. Nichtwahrscheinlichkeitsstichprobenmethoden: Stichprobenmethoden, bei denen nicht jedes Mitglied einer Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, in die Stichprobe aufgenommen zu werden. Beispiele beinhalten:

• Convenience-Probe
• Freiwillige Antwortprobe
• Schneeballprobe
• Reine Probe

Es ist wichtig, zur Gewinnung der Stichprobe ein Wahrscheinlichkeitsstichprobenverfahren zu verwenden, da dies die Chancen maximiert, eine repräsentative Stichprobe der Grundgesamtheit zu erhalten.

Bedingung 2: Unabhängigkeit

Um den zentralen Grenzwertsatz anzuwenden, müssen wir außerdem davon ausgehen, dass jeder der Werte in der Stichprobe unabhängig voneinander ist. Mit anderen Worten: Das Eintreten eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf das Eintreten eines anderen Ereignisses.

Diese Annahme ist häufig erfüllt, wenn wir ein Wahrscheinlichkeitsstichprobenverfahren verwenden, da diese Arten von Stichprobenverfahren völlig unabhängig voneinander auswählen , welche Beobachtungen in die Stichprobe aufgenommen werden sollen.

Bedingung 3: die 10 %-Bedingung

Bei ersatzloser Stichprobenziehung (was fast immer der Fall ist) sollte der Stichprobenumfang 10 % der Gesamtbevölkerung nicht überschreiten.

Zum Beispiel:

• Wenn unsere Bevölkerungsgröße 500 Personen beträgt, sollte unsere Stichprobengröße 50 Personen nicht überschreiten.
• Wenn unsere Bevölkerungsgröße 1.000 Personen beträgt, sollte unsere Stichprobe 100 Personen nicht überschreiten.
• Wenn unsere Bevölkerungsgröße 50.000 Menschen beträgt, sollte unsere Stichprobengröße 5.000 Menschen nicht überschreiten.

Und so weiter.

Bedingung 4: Bedingung einer großen Probe

Um schließlich den zentralen Grenzwertsatz anwenden zu können, muss unsere Stichprobengröße groß genug sein.

Im Allgemeinen betrachten wir 30 oder mehr als „groß genug“. Diese Zahl kann jedoch je nach der zugrunde liegenden Form der Bevölkerungsverteilung leicht variieren.

Besonders:

• Wenn die Bevölkerungsverteilung symmetrisch ist, reicht manchmal eine Stichprobengröße von nur 15 aus.
• Bei einer schiefen Bevölkerungsverteilung ist in der Regel eine Stichprobe von mindestens 30 Personen erforderlich.
• Wenn die Bevölkerungsverteilung extrem schief ist, kann eine Stichprobe von 40 oder mehr Personen erforderlich sein.

Abhängig von der Form der Populationsverteilung benötigen Sie möglicherweise eine Stichprobengröße von mehr oder weniger als 30, damit der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann.