So berechnen sie konfidenzintervalle: 3 beispielprobleme

Ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich einen Populationsmittelwert mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält.

Wir verwenden die folgende Formel, um ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert zu berechnen:

Konfidenzintervall = x +/- t*(s/√ n )

Gold:

• x : Stichprobenmittel
• t: der kritische Wert von t
• s: Stichprobenstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Hinweis : Wir ersetzen in der Formel den kritischen Wert durch einen kritischen Wert, wenn die Grundgesamtheitsstandardabweichung (σ) bekannt ist und die Stichprobengröße größer als 30 ist.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert in drei verschiedenen Szenarien erstellt wird:

• Die Populationsstandardabweichung (σ) ist unbekannt
• Die Populationsstandardabweichung (σ) ist bekannt, aber n ≤ 30
• Die Populationsstandardabweichung (σ) ist bekannt und n > 30

Lass uns gehen!

Beispiel 1: Konfidenzintervall, wenn σ unbekannt ist

Angenommen, wir möchten ein 95 %-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Höhe (in Zoll) einer bestimmten Pflanzenart berechnen.

Angenommen, wir sammeln eine einfache Zufallsstichprobe mit den folgenden Informationen:

• Stichprobenmittelwert ( x ) = 12
• Stichprobengröße (n) = 19
• Stichprobenstandardabweichung (s) = 6,3

Wir können die folgende Formel verwenden, um dieses Konfidenzintervall zu erstellen:

• 95 % KI = x +/- t*(s/√ n )
• 95 % KI = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• 95 % KI = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• 95 % KI = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• 95 %-KI = (8.964, 15.037)

Das 95 %-Konfidenzintervall für die mittlere Populationsgröße dieser bestimmten Pflanzenart beträgt (8,964 Zoll, 15,037 Zoll) .

Hinweis Nr. 1 : Wir haben den inversen t-Verteilungsrechner verwendet, um den kritischen t-Wert zu ermitteln, der 18 Freiheitsgraden und einem Konfidenzniveau von 0,95 zugeordnet ist.

Hinweis Nr. 2 : Da die Populationsstandardabweichung (σ) unbekannt ist, haben wir bei der Berechnung des Konfidenzintervalls den kritischen Wert t verwendet.

Beispiel 2: Konfidenzintervall, wenn σ bekannt ist, aber n ≤ 30

Angenommen, wir möchten ein 99 %-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Punktzahl einer bestimmten Hochschulaufnahmeprüfung berechnen.

Angenommen, wir sammeln eine einfache Zufallsstichprobe mit den folgenden Informationen:

• Stichprobenmittelwert ( x ) = 85
• Stichprobengröße (n) = 25
• Populationsstandardabweichung (σ) = 3,5

Wir können die folgende Formel verwenden, um dieses Konfidenzintervall zu erstellen:

• 99 % KI = x +/- t*(s/√ n )
• 99 % KI = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• 99 % KI = 85 +/- t _24,005 *(3,5/√ 25 )
• 99 %-KI = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• 99 %-KI = (83,042, 86,958)

Das 99 %-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Punktzahl der Bevölkerung bei dieser Hochschulaufnahmeprüfung beträgt (83,042, 86,958) .

Hinweis Nr. 1 : Wir haben den inversen t-Verteilungsrechner verwendet, um den kritischen t-Wert zu ermitteln, der 24 Freiheitsgraden und einem Konfidenzniveau von 0,99 zugeordnet ist.

Hinweis Nr. 2 : Da die Grundgesamtheitsstandardabweichung (σ) bekannt war, die Stichprobengröße (n) jedoch weniger als 30 betrug, haben wir bei der Berechnung des Konfidenzintervalls den kritischen Wert t verwendet.

Beispiel 3: Konfidenzintervall, wenn σ bekannt ist und n > 30

Angenommen, wir möchten ein 90 %-Konfidenzintervall für das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart berechnen.

Angenommen, wir sammeln eine einfache Zufallsstichprobe mit den folgenden Informationen:

• Stichprobenmittelwert ( x ) = 300
• Stichprobengröße (n) = 40
• Populationsstandardabweichung (σ) = 15

Wir können die folgende Formel verwenden, um dieses Konfidenzintervall zu erstellen:

• 90 % KI = x +/- z*(σ/√ n )
• 90 % KI = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• 90 %-KI = (296.099, 303.901)

Das 90 %-Konfidenzintervall für das mittlere Populationsgewicht dieser bestimmten Schildkrötenart beträgt (83,042, 86,958) .

Hinweis Nr. 1 : Wir haben den Rechner für den kritischen Z-Wert verwendet, um den kritischen Z-Wert zu ermitteln, der einem Signifikanzniveau von 0,1 zugeordnet ist.

Hinweis Nr. 2 : Da die Grundgesamtheitsstandardabweichung (σ) bekannt war und die Stichprobengröße (n) größer als 30 war, haben wir bei der Berechnung des Konfidenzintervalls den kritischen Wert z verwendet.

Zusätzliche Ressourcen

Die folgenden Tutorials bieten zusätzliche Informationen zu Konfidenzintervallen:

4 Beispiele für Konfidenzintervalle im wirklichen Leben
So schreiben Sie eine Konfidenzintervall-Schlussfolgerung
Die 6 zu überprüfenden Konfidenzintervallhypothesen