Bernoulli-verteilung

In diesem Artikel wird erklärt, was die Bernoulli-Verteilung ist und wie ihre Formel lautet. Darüber hinaus finden Sie die Eigenschaften der Bernoulli-Verteilung und eine gelöste Übung, um ihre Bedeutung besser zu verstehen.

Was ist die Bernoulli-Verteilung?

Die Bernoulli-Verteilung , auch dichotome Verteilung genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine diskrete Variable darstellt, die nur zwei Ergebnisse haben kann: „Erfolg“ oder „Misserfolg“.

In der Bernoulli-Verteilung ist „Erfolg“ das von uns erwartete Ergebnis und hat den Wert 1, während das Ergebnis von „Misserfolg“ ein anderes als das erwartete Ergebnis ist und den Wert 0 hat. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von „ „Erfolg“ ist p , die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von „Misserfolg“ ist q=1-p .

Die Bernoulli-Verteilung ist nach dem Schweizer Statistiker Jacob Bernoulli benannt.

In der Statistik hat die Bernoulli-Verteilung hauptsächlich eine Anwendung: Sie definiert die Wahrscheinlichkeiten von Experimenten, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. Daher wird ein Experiment, das die Bernoulli-Verteilung verwendet, Bernoulli-Test oder Bernoulli-Experiment genannt.

Bernoulli-Verteilungsformel

Wenn p die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ergebnis „Erfolg“ eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit der Bernoulli-Verteilung gleich p erhöht auf x multipliziert mit 1-p erhöht auf 1-x . Somit können die Wahrscheinlichkeiten der Bernoulli-Verteilung mit der folgenden Formel berechnet werden :

Beachten Sie, dass in einer Bernoulli-Verteilung der Wert von x nur 0 (Misserfolg) oder 1 (Erfolg) sein kann.

Andererseits kann die vorherige Formel auch mit dem folgenden äquivalenten Ausdruck geschrieben werden:

Beispiel einer Bernoulli-Verteilung

Nachdem wir nun die Definition der Bernoulli-Verteilung und ihre Formel kennen, sehen wir uns ein konkretes Beispiel der Bernoulli-Verteilung an.

• Um ein Spiel zu gewinnen, muss ein Spieler einen Würfel werfen und eine 2 bekommen, andernfalls gewinnt ein anderer Spieler das Spiel und das Spiel geht verloren. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von Erfolg und Misserfolg.

Ein Würfel hat sechs mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6). In diesem Fall ist der Beispielraum des Experiments also:

In unserem Fall besteht der einzige Erfolgsfall darin, die Zahl zwei zu erhalten, daher ist die Erfolgswahrscheinlichkeit bei Anwendung der Laplace-Regel gleich eins geteilt durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse (6):

Wenn hingegen beim Würfeln eine andere Zahl erscheint, gilt das Ergebnis des Experiments als gescheitert, da der Spieler das Spiel verliert. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht also eins minus der zuvor berechneten Wahrscheinlichkeit:

Kurz gesagt, die Bernoulli-Verteilung dieses Experiments wird durch den folgenden Ausdruck definiert:

Wie Sie unten sehen können, können die Wahrscheinlichkeiten der Bernoulli-Verteilung auch durch Anwendung der oben gezeigten Formel ermittelt werden:

Merkmale der Bernoulli-Verteilung

Nachfolgend sind die wichtigsten Merkmale der Bernoulli-Verteilung aufgeführt.

• Die Bernoulli-Verteilung kann nur den Wert 1 (Erfolg) oder 0 (Misserfolg) annehmen.

• Der Mittelwert der Bernoulli-Verteilung entspricht der Eintrittswahrscheinlichkeit des Ergebnisses „Erfolg“.

• Die Varianz einer Bernoulli-Verteilung kann durch Multiplikation der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Ergebnisse „Erfolg“ und „Misserfolg“ berechnet werden. Oder äquivalent dazu beträgt die Varianz p mal 1-p .

• Der Wert des Modus einer Bernoulli-Verteilung hängt von den Wahrscheinlichkeiten von „Erfolg“ und „Misserfolg“ ab. Somit wird der Modus dieser Art der Verteilung durch den folgenden Ausdruck definiert:

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\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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• Andererseits wird die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung durch den folgenden Ausdruck definiert:

• Der Asymmetriekoeffizient einer Bernoulli-Verteilung wird mit dem folgenden Ausdruck berechnet:

• Ebenso hängt die Kurtosis einer Bernoulli-Verteilung vom Wert des Parameters p ab und kann durch Anwendung der folgenden Formel ermittelt werden:

Bernoulli-Verteilung und Binomialverteilung

In diesem Abschnitt werden wir den Unterschied zwischen der Bernoulli-Verteilung und der Binomialverteilung sehen, da es sich um zwei Arten verwandter Wahrscheinlichkeitsverteilungen handelt.

Die Binomialverteilung zählt die Anzahl der „erfolgreichen“ Ergebnisse, die aus einer Reihe von Bernoulli-Versuchen erzielt wurden. Diese Bernoulli-Experimente müssen unabhängig sein, aber die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit haben.

Daher ist die Binomialverteilung die Summe einer Reihe von Variablen, die einer Bernoulli-Verteilung folgen und alle durch denselben Parameter p definiert sind.

In der Bernoulli-Verteilung gibt es also nur ein Bernoulli-Experiment, während es in der Binomialverteilung eine Folge von Bernoulli-Experimenten gibt.