Binomialverteilung und geometrische verteilung: ähnlichkeiten und unterschiede

Zwei in der Statistik häufig verwendete Verteilungen sind die Binomialverteilung und die geometrische Verteilung .

Dieses Tutorial bietet eine kurze Erklärung jeder Verteilung sowie der Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den beiden.

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, in n Binomialexperimenten k Erfolge zu erzielen.

Wenn eine Zufallsvariable X einer Binomialverteilung folgt, kann die Erfolgswahrscheinlichkeit von X = k mit der folgenden Formel ermittelt werden:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Gold:

• n: Anzahl der Versuche
• k: Anzahl der Erfolge
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch
• _n C _k : die Anzahl der Möglichkeiten, in n Versuchen k Erfolge zu erzielen

Angenommen, wir werfen dreimal eine Münze. Wir können die obige Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, bei diesen drei Würfen 0 Köpfe zu bekommen:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

Die geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe von Binomialexperimenten eine bestimmte Anzahl von Fehlschlägen auftritt, bevor der erste Erfolg eintritt.

Folgt eine Zufallsvariable

P(X=k) = (1-p) ^kp

Gold:

• k: Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch

Nehmen wir zum Beispiel an, wir möchten wissen, wie oft wir eine faire Münze werfen müssen, bis sie Kopf zeigt. Wir können die obige Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass es drei „Fehltreffer“ gibt, bevor die Münze schließlich auf „Kopf“ landet:

P(X=3) = (1-0,5) ³ (0,5) = 0,0625

Ähnlichkeiten und Unterschiede

Binomial- und geometrische Verteilungen weisen die folgenden Gemeinsamkeiten auf:

• Das Ergebnis von Experimenten in beiden Verteilungen kann als „Erfolg“ oder „Misserfolg“ klassifiziert werden.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich.
• Jeder Test ist unabhängig.

Die Verteilungen weisen den folgenden wesentlichen Unterschied auf:

• Bei einer Binomialverteilung gibt es eine feste Anzahl von Versuchen (d. h. dreimal eine Münze werfen).
• Bei einer geometrischen Verteilung interessiert uns die Anzahl der Versuche, die nötig sind , bis wir einen Erfolg erzielen (d. h. wie viele Umkehrungen müssen wir machen, bevor wir Tails sehen?)

Praktische Fragen: Wann man die einzelnen Distributionen verwenden sollte

Bestimmen Sie in jeder der folgenden Übungsaufgaben, ob die Zufallsvariable einer Binomialverteilung oder einer geometrischen Verteilung folgt.

Problem 1: Würfeln

Jessica spielt ein Glücksspiel, bei dem sie einen Würfel so lange würfelt, bis er auf der Zahl 4 landet. Sei X die Anzahl der Würfe, bis eine 4 erscheint. Welcher Verteilungsart folgt die Zufallsvariable X ?

Antwort : testen.

Problem 2: Freiwürfe schießen

Tyler macht 80 % aller Freiwürfe, die er versucht. Angenommen, er macht 10 Freiwürfe. Sei X die Häufigkeit, mit der Tyler in den 10 Versuchen einen Korb wirft. Welcher Verteilungsart folgt die Zufallsvariable X ?

Antwort :

Zusätzliche Ressourcen

Binomialverteilungsrechner
Geometrischer Verteilungsrechner