Binomiale experimente: eine erklärung + beispiele

Das Verständnis von Binomialexperimenten ist der erste Schritt zum Verständnis der Binomialverteilung .

Dieses Tutorial definiert ein Binomialexperiment und bietet mehrere Beispiele für Experimente, die als Binomialexperimente gelten oder nicht .

Binomialexperiment: Definition

Ein Binomialexperiment ist ein Experiment mit den folgenden vier Eigenschaften:

1. Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. Die Zahl n kann ein beliebiger Betrag sein. Wenn wir beispielsweise eine Münze 100 Mal werfen, ist n = 100.

2. Jeder Prozess hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Wir nennen die Ergebnisse oft „Erfolg“ oder „Misserfolg“, aber „Erfolg“ ist nur eine Bezeichnung für etwas, auf das wir zählen. Wenn wir beispielsweise eine Münze werfen, nennen wir „Kopf“ einen „Treffer“ und „Zahl“ einen „Misserfolg“.

3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit, mit p bezeichnet, ist für jeden Versuch gleich. Damit ein Experiment ein echtes Binomialexperiment ist, muss die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch gleich sein. Wenn wir beispielsweise eine Münze werfen, ist die Wahrscheinlichkeit, „Kopf“ („Erfolg“) zu bekommen, bei jedem Münzwurf immer gleich.

4. Jeder Test ist unabhängig . Dies bedeutet einfach, dass das Ergebnis einer Studie keinen Einfluss auf das Ergebnis einer anderen Studie hat. Angenommen, wir werfen eine Münze und sie zeigt „Kopf“. Die Tatsache, dass es auf dem Kopf landet, ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit, dass es beim nächsten Wurf auf dem Kopf landet. Jeder Flip (also jeder „Versuch“) ist unabhängig.

Beispiele für Binomialexperimente

Die folgenden Experimente sind alles Beispiele für Binomialexperimente.

Beispiel 1

Wirf 10 Mal eine Münze. Notieren Sie, wie oft es „Zahl“ landet.

Dies ist ein Binomialexperiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. In diesem Fall gibt es 10 Versuche.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Die Münze kann nur auf „Kopf“ oder „Zahl“ landen.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich . Wenn wir „Erfolg“ als „auf dem Kopf landen“ definieren, dann beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch genau 0,5.
• Jeder Test ist unabhängig . Das Ergebnis einer Ziehung hat keinen Einfluss auf das Ergebnis einer anderen Ziehung.

Beispiel #2

Wirf 20 Mal einen fairen 6-seitigen Würfel. Notieren Sie, wie oft eine 2 erscheint.

Dies ist ein Binomialexperiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. In diesem Fall gibt es 20 Versuche.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Wenn wir eine 2 als „Erfolg“ definieren, dann landet der Würfel jedes Mal entweder auf einer 2 (ein Erfolg) oder einer anderen Zahl (ein Misserfolg).
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich . Bei jedem Versuch beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel auf eine 2 fällt, 1/6. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich von einem Versuch zum anderen nicht.
• Jeder Test ist unabhängig . Das Ergebnis eines Würfelwurfs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis anderer Würfelwürfe.

Beispiel #3

Tyler macht 70 % seiner Freiwurfversuche. Angenommen, er macht 15 Versuche. Notieren Sie die Anzahl der Körbe, die er macht.

Dies ist ein Binomialexperiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. In diesem Fall gibt es 15 Versuche.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Bei jedem Versuch schafft Tyler entweder den Korb oder verfehlt ihn.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich . Bei jedem Versuch beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Tyler den Korb schafft, 70 %. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich von einem Versuch zum anderen nicht.
• Jeder Test ist unabhängig . Das Ergebnis eines Freiwurfversuchs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Freiwurfversuchs.

Beispiele, die keine Binomialexperimente sind

Beispiel 1

Fragen Sie 100 Menschen, wie alt sie sind .

Dies ist kein Binomialexperiment, da es mehr als zwei mögliche Ergebnisse gibt.

Beispiel #2

Wirf einen fairen 6-seitigen Würfel, bis eine 5 erscheint.

Dies ist kein Binomialexperiment, da es keine vordefinierte Anzahl n von Versuchen gibt. Wir wissen nicht, wie viele Würfe nötig sind, bis eine 5 erscheint.

Beispiel #3

Ziehe 5 Karten aus einem Kartenspiel.

Dies ist kein binomiales Experiment, da das Ergebnis eines Versuchs (z. B. das Ziehen einer bestimmten Karte vom Stapel) das Ergebnis nachfolgender Versuche beeinflusst.

Ein Beispiel und eine Lösung für ein Binomialexperiment

Das folgende Beispiel zeigt, wie eine Frage zu einem Binomialexperiment gelöst wird.

Sie werfen 10 Mal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze genau 7 Mal „Kopf“ landet?

Wann immer wir die Wahrscheinlichkeit von n Erfolgen in einem Binomialexperiment ermitteln möchten, müssen wir die folgende Formel verwenden:

P(genau k Erfolge) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Gold:

• n: die Anzahl der Versuche
• k: die Anzahl der Erfolge
• C: das „Kombinations“-Symbol
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch

Durch Einsetzen dieser Zahlen in die Formel erhalten wir:

P(7 Köpfe) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0,11719 .

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze sieben Mal „Kopf“ zeigt, beträgt also 0,11719 .