Eine einführung in die binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine der beliebtesten Verteilungen in der Statistik. Um die Binomialverteilung zu verstehen, ist es hilfreich, zunächst Binomialexperimente zu verstehen.

Binomiale Experimente

Ein Binomialexperiment ist ein Experiment mit den folgenden Eigenschaften:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit, p bezeichnet, ist für jeden Versuch gleich.
• Jeder Test ist unabhängig.

Das offensichtlichste Beispiel für ein Binomialexperiment ist ein Münzwurf. Nehmen wir zum Beispiel an, wir werfen zehnmal eine Münze. Dies ist ein Binomialexperiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen – es gibt 10 Versuche.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit, p bezeichnet, ist für jeden Versuch gleich. Wenn wir „Erfolg“ als landende Köpfe definieren, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch genau 0,5.
• Jeder Versuch ist unabhängig – das Ergebnis eines Münzwurfs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Münzwurfs.

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, in n Binomialexperimenten k Erfolge zu erzielen.

Wenn eine Zufallsvariable X einer Binomialverteilung folgt, kann die Erfolgswahrscheinlichkeit von X = k mit der folgenden Formel ermittelt werden:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Gold:

• n: Anzahl der Versuche
• k: Anzahl der Erfolge
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch
• _n C _k : die Anzahl der Möglichkeiten, in n Versuchen k Erfolge zu erzielen

Angenommen, wir werfen dreimal eine Münze. Wir können die obige Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, bei diesen drei Würfen 0, 1, 2 und 3 Kopf zu erhalten:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

P(X=1) = ₃ C ₁ * 0,5 ¹ * (1-0,5) ^3-1 = 3 * 0,5 * (0,5) ² = 0,375

P(X=2) = ₃ C ₂ * 0,5 ² * (1-0,5) ^3-2 = 3 * 0,25 * (0,5) ¹ = 0,375

P(X=3) = ₃ C ₃ * 0,5 ³ * (1-0,5) ^3-3 = 1 * 0,125 * (0,5) ⁰ = 0,125

Hinweis : Wir haben diesen kombinierten Rechner verwendet, um _{nCk für} jedes Beispiel zu berechnen.

Wir können ein einfaches Histogramm erstellen, um diese Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren:

Berechnung kumulativer Binomialwahrscheinlichkeiten

Es ist einfach, eine einzelne Binomialwahrscheinlichkeit (z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze bei 3 Würfen einmal „Kopf“ erscheint) mithilfe der obenstehenden Formel zu berechnen, aber um kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten zu berechnen, müssen wir einzelne Wahrscheinlichkeiten addieren.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir möchten wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Münze bei drei Würfen einmal oder weniger „Kopf“ ergibt. Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit würden wir die folgende Formel verwenden:

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 .

Dies wird als kumulative Wahrscheinlichkeit bezeichnet, da dabei mehrere Wahrscheinlichkeiten addiert werden. Wir können die kumulative Wahrscheinlichkeit, für jedes Ergebnis k Köpfe oder weniger zu bekommen, mit einer ähnlichen Formel berechnen:

P(X≤0) = P(X=0) = 0,125 .

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 .

P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875 .

P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1 .

Wir können ein Histogramm erstellen, um diese kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren:

Binomial-Wahrscheinlichkeitsrechner

Wenn wir mit kleinen Zahlen arbeiten (z. B. 3 Münzwürfe), ist es sinnvoll, Binomialwahrscheinlichkeiten von Hand zu berechnen. Wenn wir jedoch mit größeren Zahlen arbeiten (z. B. 100 Ziehungen), kann es schwierig sein, die Wahrscheinlichkeiten manuell zu berechnen. In diesen Fällen kann es hilfreich sein, einen binomialen Wahrscheinlichkeitsrechner wie den folgenden zu verwenden.

Angenommen, wir werfen eine Münze n = 100 Mal, die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einem bestimmten Versuch auf dem Kopf landet, beträgt p = 0,5, und wir möchten wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass sie k = 43 Mal oder weniger auf dem Kopf landet:

So interpretieren Sie das Ergebnis:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze genau 43 Mal „Kopf“ erscheint, beträgt 0,03007 .
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze weniger als 43 Mal „Kopf“ erscheint, beträgt 0,06661 .
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze 43 Mal oder weniger „Kopf“ erhält, beträgt 0,09667 .
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze mehr als 43 Mal „Kopf“ erscheint, beträgt 0,90333 .
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze 43 Mal oder öfter „Kopf“ erscheint, beträgt 0,93339 .

Eigenschaften der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat folgende Eigenschaften:

Der Mittelwert der Verteilung ist μ = np

Die Varianz der Verteilung beträgt σ ² = np(1-p)

Die Standardabweichung der Verteilung beträgt σ = √ np(1-p)

Angenommen, wir werfen dreimal eine Münze. Sei p = die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf dem Kopf landet.

Die durchschnittliche Anzahl der Köpfe, die wir erwarten, beträgt μ = np = 3*.5 = 1.5 .

Die von uns erwartete Varianz der Mitarbeiterzahl beträgt σ ² = np(1-p) = 3*.5*(1-.5) = 0.75 .

Probleme in der Praxis der Binomialverteilung

Nutzen Sie die folgenden Übungsaufgaben, um Ihr Wissen über die Binomialverteilung zu testen.

Problem 1

Frage: Bob macht 60 % seiner Freiwurfversuche. Wenn er 12 Freiwürfe macht, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 10 macht?

Antwort: Wenn wir den Binomialverteilungsrechner oben mit p = 0,6, n = 12 und k = 10 verwenden, finden wir, dass P(X=10) = 0,06385 ist.

Problem 2

Frage: Jessica wirft fünfmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze zweimal oder weniger „Kopf“ erscheint?

Antwort: Wenn wir den Binomialverteilungsrechner oben mit p = 0,5, n = 5 und k = 2 verwenden, finden wir, dass P(X≤2) = 0,5 ist.

Problem 3

Frage: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Student an einer bestimmten Hochschule aufgenommen wird, beträgt 0,2. Wenn sich 10 Studierende bewerben, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 angenommen werden?

Antwort: Wenn wir den Binomialverteilungsrechner oben mit p = 0,2, n = 10 und k = 4 verwenden, finden wir, dass P(X>4) = 0,03279 ist.

Problem 4

Frage: Sie werfen 12 Mal eine Münze. Wie viele Köpfe werden voraussichtlich durchschnittlich erscheinen?

Antwort: Denken Sie daran, dass der Mittelwert einer Binomialverteilung als μ = np berechnet wird. Also, μ = 12*0,5 = 6 Köpfe .

Problem 5

Frage: Mark gelingt bei 10 % seiner Versuche ein Homerun. Wenn er in einem bestimmten Spiel fünf Versuche macht, wie groß ist dann die Abweichung in der Anzahl der Homeruns, die er trifft?

Antwort: Denken Sie daran, dass die Varianz einer Binomialverteilung wie folgt berechnet wird: σ ² = np(1-p). Somit ist ^σ2 = 6*.1*(1-.1) = 0,54 .

Zusätzliche Ressourcen

Die folgenden Artikel können Ihnen dabei helfen, die Verwendung der Binomialverteilung in verschiedenen Statistikprogrammen zu erlernen:

• So berechnen Sie Binomialwahrscheinlichkeiten in Excel
• So berechnen Sie Binomialwahrscheinlichkeiten mit einem TI-84-Rechner
• So berechnen Sie Binomialwahrscheinlichkeiten in R
• So zeichnen Sie eine Binomialverteilung in R auf