Die bonferroni-korrektur: definition und beispiel

Wann immer Sie Hypothesentests durchführen , besteht immer das Risiko, einen Fehler vom Typ I zu machen. Dies ist der Fall, wenn Sie die Nullhypothese ablehnen, obwohl sie tatsächlich wahr ist.

Wir bezeichnen dies manchmal als „falsch positiv“ – wenn wir behaupten, dass es einen statistisch signifikanten Effekt gibt, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist.

Wenn wir Hypothesentests durchführen, entspricht die Fehlerrate vom Typ I dem Signifikanzniveau (α), das normalerweise 0,01, 0,05 oder 0,10 beträgt. Wenn wir jedoch mehrere Hypothesentests gleichzeitig durchführen, steigt die Wahrscheinlichkeit, ein falsch positives Ergebnis zu erhalten.

Wenn wir mehrere Hypothesentests gleichzeitig durchführen, müssen wir uns mit der sogenannten familienbezogenen Fehlerrate befassen, also der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der Tests ein falsch positives Ergebnis liefert. Dies lässt sich wie folgt berechnen:

Fehlerrate pro Familie = 1 – (1-α) ⁿ

Gold:

• α: das Signifikanzniveau für einen einzelnen Hypothesentest
• n: Die Gesamtzahl der Tests

Wenn wir einen einzelnen Hypothesentest mit α = 0,05 durchführen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Fehler vom Typ I machen, nur 0,05.

Fehlerrate pro Familie = 1 – (1-α) ^c = 1 – (1-.05) ¹ = 0,05

Wenn wir zwei Hypothesentests gleichzeitig durchführen und für jeden Test α = 0,05 verwenden, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Fehler vom Typ I machen, auf 0,0975.

Fehlerrate pro Familie = 1 – (1-α) ^c = 1 – (1-.05) ² = 0,0975

Und wenn wir fünf Hypothesentests gleichzeitig durchführen und dabei für jeden Test α = 0,05 verwenden, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Fehler vom Typ I machen, auf 0,2262.

Fehlerrate pro Familie = 1 – (1-α) ^c = 1 – (1-.05) ⁵ = 0,2262

Es ist leicht zu erkennen, dass mit zunehmender Anzahl statistischer Tests die Wahrscheinlichkeit, bei mindestens einem der Tests einen Fehler vom Typ I zu begehen, schnell zunimmt.

Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, ist die Verwendung einer Bonferroni-Korrektur.

Was ist eine Bonferroni-Korrektur?

Eine Bonferroni-Korrektur bezieht sich auf den Prozess der Anpassung des Alpha-Werts (α) für eine Familie statistischer Tests, um die Wahrscheinlichkeit eines Typ-I-Fehlers zu kontrollieren.

Die Formel für eine Bonferroni-Korrektur lautet wie folgt:

α _neu = α _original / n

Gold:

• _{ursprüngliches} α: Das ursprüngliche α-Niveau
• n: Die Gesamtzahl der durchgeführten Vergleiche oder Tests

Wenn wir beispielsweise drei statistische Tests gleichzeitig ausführen und für jeden Test α = 0,05 verwenden möchten, sagt uns die Bonferroni-Korrektur, dass wir α _new = 0,01667 verwenden sollten.

α _neu = α _original / n = 0,05 / 3 = 0,01667

Daher sollten wir die Nullhypothese jedes einzelnen Tests nur dann ablehnen, wenn der p-Wert des Tests kleiner als 0,01667 ist.

Bonferroni-Korrektur: ein Beispiel

Angenommen, ein Professor möchte wissen, ob drei verschiedene Lerntechniken zu unterschiedlichen Testergebnissen bei den Studenten führen.

Um dies zu testen, weist sie 30 Schülern nach dem Zufallsprinzip zu, jede Lerntechnik anzuwenden. Nachdem jeder Schüler eine Woche lang die ihm zugewiesene Lerntechnik angewendet hat, legt er die gleiche Prüfung ab.

Anschließend führt sie eine einfaktorielle ANOVA durch und stellt fest, dass der Gesamt-p-Wert 0,0476 beträgt. Da diese Zahl weniger als 0,05 beträgt, lehnt sie die Nullhypothese der einfaktoriellen ANOVA ab und kommt zu dem Schluss, dass nicht jede Lerntechnik zu der gleichen durchschnittlichen Prüfungspunktzahl führt.

Um herauszufinden , welche Studientechniken statistisch signifikante Ergebnisse liefern, führt sie die folgenden paarweisen T-Tests durch:

• Technik 1 versus Technik 2
• Technik 1 versus Technik 3
• Technik 2 versus Technik 3

Sie möchte die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ I zu begehen, auf α = 0,05 steuern. Da sie mehrere Tests gleichzeitig durchführt, beschließt sie, eine Bonferroni-Korrektur anzuwenden und α _new = .01667 zu verwenden.

_neues α = _{ursprüngliches} α / n = 0,05 / 3 = 0,01667

Anschließend führt sie T-Tests für jede Gruppe durch und stellt Folgendes fest:

• Technik 1 versus Technik 2 | p-Wert = 0,0463
• Technik 1 versus Technik 3 | p-Wert = 0,3785
• Technik 2 versus Technik 3 | p-Wert = 0,0114

Da der p-Wert für Technik 2 gegenüber Technik 3 der einzige p-Wert unter 0,01667 ist, kommt sie zu dem Schluss, dass es nur einen statistisch signifikanten Unterschied zwischen Technik 2 und Technik 3 gibt.

Zusätzliche Ressourcen

Bonferroni-Korrekturrechner
So führen Sie eine Bonferroni-Korrektur in R durch