Disjunkte oder unabhängige ereignisse: was ist der unterschied?

Zwei Begriffe, die Studierende oft verwechseln, sind disjunkt und unabhängig .

Hier ist der Unterschied in wenigen Worten:

Zwei Ereignisse heißen disjunkt , wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.

Zwei Ereignisse heißen unabhängig , wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses hat.

Die folgenden Beispiele veranschaulichen den Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen in verschiedenen Szenarien.

Beispiel 1: Wirf eine Münze

Szenario 1: Angenommen, wir werfen einmal eine Münze. Wenn wir Ereignis A als das Landen einer Münze auf dem Kopf und Ereignis B als das Landen einer Münze auf dem Kopf definieren, dann sind Ereignis A und Ereignis B disjunkt , da die Münze nicht auf dem Kopf und auf der Oberfläche landen kann.

Szenario 2 : Angenommen, wir werfen eine Münze zweimal. Wenn wir Ereignis A als die Münze definieren, die beim ersten Wurf auf „Kopf“ landet, und Ereignis B als die Münze, die beim zweiten Wurf auf „Kopf“ landet, dann sind Ereignis A und Ereignis B unabhängig , da das Ergebnis einer Ziehung keinen Einfluss auf das Ergebnis hat des anderen.

Beispiel 2: Wirf einen Würfel

Szenario 1: Angenommen, wir würfeln einmal. Wenn wir Ereignis A als das Ereignis betrachten, bei dem der Würfel auf einer geraden Zahl landet, und Ereignis B als das Ereignis, bei dem der Würfel auf einer ungeraden Zahl landet, dann sind Ereignis A und Ereignis B disjunkt , weil Würfel nicht auf einer geraden und einer ungeraden Zahl landen können Nummer gleichzeitig.

Szenario 2 : Angenommen, wir würfeln zweimal. Wenn wir Ereignis A als den Würfel definieren, der beim ersten Wurf auf eine „5“ fällt, und Ereignis B als den Würfel, der beim zweiten Wurf auf eine „5“ fällt, dann sind Ereignis A und Ereignis B unabhängig , weil das Ergebnis eins ist Der Würfelwurf hat keinen Einfluss auf das Ergebnis des anderen.

Beispiel 3: Auswahl einer Karte

Szenario 1: Angenommen, wir wählen eine Karte aus einem Standardkartenspiel mit 52 Karten aus. Wenn wir Ereignis A das Ereignis annehmen, dass die Karte ein Pik ist, und Ereignis B das Ereignis, dass die Karte ein Karo ist, dann sind Ereignis A und Ereignis B disjunkt , weil die Karte kein Pik und kein Karo sein kann. gleichzeitig.

Szenario 2 : Angenommen, wir wählen zweimal hintereinander eine Karte aus einem Standardkartenspiel mit 52 Karten aus und ersetzen sie. Wenn wir Ereignis A als die Pik-Karte beim ersten Ziehen definieren und Ereignis B als die Pik-Karte beim zweiten Ziehen, dann sind Ereignis A und Ereignis B unabhängig , da das Ergebnis einer Ziehung keinen Einfluss auf das Ergebnis hat des anderen.

Wahrscheinlichkeitsnotation: disjunkte Ereignisse oder unabhängige Ereignisse

In probabilistischer Schreibweise sagen wir, dass die Ereignisse A und B disjunkt sind, wenn ihr Schnittpunkt Null ist. Dies kann wie folgt geschrieben werden:

• P(A∩B) = 0

Angenommen, wir würfeln einmal. Sei Ereignis A das Ereignis, bei dem der Würfel auf einer geraden Zahl landet, und Ereignis B das Ereignis, bei dem der Würfel auf einer ungeraden Zahl landet.

Wir würden den Beispielraum für Ereignisse wie folgt definieren:

• A = {2, 4, 6}
• B = {1, 3, 5}

Beachten Sie, dass es keine Überlappung zwischen den beiden abgetasteten Räumen gibt. Somit sind die Ereignisse A und B disjunkte Ereignisse, da sie nicht beide gleichzeitig auftreten können.

Wir könnten also schreiben:

• P(A∩B) = 0

In ähnlicher Weise sagen wir in probabilistischer Notation, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind, wenn Folgendes zutrifft:

• P(A∩B) = P(A) * P(B)

Angenommen, wir würfeln zweimal. Sei Ereignis A das Ereignis, bei dem der Würfel beim ersten Wurf auf einer „5“ landet, und Ereignis B sei das Ereignis, bei dem der Würfel beim zweiten Wurf auf einer „5“ landet.

Wenn wir alle 36 möglichen Wege aufschreiben, auf denen die Würfel landen, würden wir feststellen, dass der Würfel in nur einem der 36 Szenarien beide Male auf einer „5“ landete. Wir würden also sagen: P(A∩B) = 1/36.

Wir wissen auch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel beim ersten Wurf auf eine „5“ fällt, P(A) = 1/6 ist.

Wir wissen auch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel beim zweiten Wurf auf eine „5“ fällt, P(B) = 1/6 beträgt.

Wir könnten also schreiben:

• P(A∩B) = P(A) * P(B)
• 1/36 = 1/6 * 1/6
• 1/36 = 1/36

Da diese Gleichung wahr ist, könnten wir effektiv sagen, dass Ereignis A und Ereignis B in diesem Szenario unabhängig sind.

Zusätzliche Ressourcen

Die folgenden Tutorials bieten zusätzliche Informationen zu verschiedenen statistischen Begriffen:

Was sind disjunkte Ereignisse? (Definition und Beispiele)
Sich gegenseitig einschließende oder sich gegenseitig ausschließende Ereignisse