Diskrete wahrscheinlichkeitsverteilung

In diesem Artikel wird erklärt, was diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik sind. Hier finden Sie die Bedeutung der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung, Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die verschiedenen Arten diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Was ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilung, die die Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen definiert. Daher kann eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung nur eine endliche Anzahl von Werten (normalerweise ganze Zahlen) annehmen.

Beispielsweise sind die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die hypergeometrische Verteilung diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

In einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist jedem Wert der diskreten Variablen, die (x _i ) darstellt, ein Wahrscheinlichkeitswert (p _i ) zugeordnet, der zwischen 0 und 1 liegt. Somit ergibt die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer diskreten Verteilung das Ergebnis Eins .

Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Nachdem wir nun die Definition einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen, werden wir uns einige Beispiele dieser Art von Verteilung ansehen, um das Konzept besser zu verstehen.

Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

1. Die Häufigkeit, mit der die Zahl 5 durch 30-maliges Würfeln erreicht wird.
2. Die Anzahl der Benutzer, die an einem Tag auf eine Webseite zugreifen.
3. Die Anzahl der Studierenden, die eine Prüfung von insgesamt 50 Studierenden bestanden haben.
4. Die Anzahl fehlerhafter Einheiten in einer Stichprobe von 100 Produkten.
5. Die Häufigkeit, mit der eine Person die Fahrprüfung absolvieren muss, um sie zu bestehen.

Arten diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Haupttypen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind:

• Diskrete Gleichverteilung
• Bernoulli-Verteilung
• Binomialverteilung
• Fischverteilung
• Multinomiale Verteilung
• Geometrische Verteilung
• Negative Binomialverteilung
• Hypergeometrische Verteilung

Jeder Typ einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wird im Folgenden ausführlich erläutert.

Diskrete Gleichverteilung

Eine diskrete Gleichverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle Werte gleich wahrscheinlich sind, d. h. in einer diskreten Gleichverteilung haben alle Werte die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit.

Beispielsweise kann der Wurf eines Würfels mit einer diskreten Gleichverteilung definiert werden, da alle möglichen Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5 oder 6) die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.

Im Allgemeinen verfügt eine diskrete Gleichverteilung über zwei charakteristische Parameter, a und b , die den Bereich möglicher Werte definieren, den die Verteilung annehmen kann. Wenn also eine Variable durch eine diskrete Gleichverteilung definiert ist, wird sie als Uniform(a,b) geschrieben.

Die diskrete Gleichverteilung kann zur Beschreibung von Zufallsexperimenten verwendet werden, denn wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, bedeutet dies, dass das Experiment zufällig ist.

Bernoulli-Verteilung

Die Bernoulli-Verteilung , auch dichotome Verteilung genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine diskrete Variable darstellt, die nur zwei Ergebnisse haben kann: „Erfolg“ oder „Misserfolg“.

In der Bernoulli-Verteilung ist „Erfolg“ das von uns erwartete Ergebnis und hat den Wert 1, während das Ergebnis von „Misserfolg“ ein anderes als das erwartete Ergebnis ist und den Wert 0 hat. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses „ „Erfolg“ ist p , die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von „Misserfolg“ ist q=1-p .

Die Bernoulli-Verteilung ist nach dem Schweizer Statistiker Jacob Bernoulli benannt.

In der Statistik hat die Bernoulli-Verteilung hauptsächlich eine Anwendung: Sie definiert die Wahrscheinlichkeiten von Experimenten, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. Daher wird ein Experiment, das die Bernoulli-Verteilung verwendet, Bernoulli-Test oder Bernoulli-Experiment genannt.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung , auch Binomialverteilung genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge bei der Durchführung einer Reihe unabhängiger, dichotomer Experimente mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit zählt. Mit anderen Worten: Die Binomialverteilung ist eine Verteilung, die die Anzahl erfolgreicher Ergebnisse einer Folge von Bernoulli-Versuchen beschreibt.

Beispielsweise ist die Häufigkeit, mit der eine Münze 25 Mal „Kopf“ zeigt, eine Binomialverteilung.

Im Allgemeinen wird die Gesamtzahl der durchgeführten Experimente mit dem Parameter n definiert, während p die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments ist. Somit wird eine Zufallsvariable, die einer Binomialverteilung folgt, wie folgt geschrieben:

Beachten Sie, dass in einer Binomialverteilung genau dasselbe Experiment n -mal wiederholt wird und die Experimente unabhängig voneinander sind, sodass die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments gleich ist (p) .

Fischverteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit definiert, mit der eine bestimmte Anzahl von Ereignissen über einen bestimmten Zeitraum auftritt. Mit anderen Worten: Die Poisson-Verteilung wird zur Modellierung von Zufallsvariablen verwendet, die beschreiben, wie oft sich ein Phänomen in einem Zeitintervall wiederholt.

Beispielsweise ist die Anzahl der Anrufe, die eine Telefonzentrale pro Minute erhält, eine diskrete Zufallsvariable, die mithilfe der Poisson-Verteilung definiert werden kann.

Die Poisson-Verteilung verfügt über einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben λ dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Intervall voraussichtlich auftritt.

Multinomiale Verteilung

Die Multinomialverteilung (oder Multinomialverteilung ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass mehrere sich gegenseitig ausschließende Ereignisse nach mehreren Versuchen mit einer bestimmten Häufigkeit auftreten.

Das heißt, wenn ein Zufallsexperiment zu drei oder mehr exklusiven Ereignissen führen kann und die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat auftritt, bekannt ist, wird die Multinomialverteilung verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei der Durchführung mehrerer Experimente eine bestimmte Anzahl von Ereignissen auftritt. Zeit jedes Mal.

Die Multinomialverteilung ist daher eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung.

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche definiert, die erforderlich sind, um das erste erfolgreiche Ergebnis zu erhalten. Dabei handelt es sich um ein geometrisches Verteilungsmodell für Prozesse, bei denen Bernoulli-Experimente wiederholt werden, bis eines davon ein positives Ergebnis liefert.

Beispielsweise ist die Anzahl der Autos, die auf einer Straße vorbeifahren, bis sie ein gelbes Auto sehen, eine geometrische Verteilung.

Denken Sie daran, dass ein Bernoulli-Test ein Experiment ist, das zwei mögliche Ergebnisse hat: „Erfolg“ und „Misserfolg“. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ p ist, ist die Wahrscheinlichkeit des „Misserfolgs“ q=1-p .

Die geometrische Verteilung hängt daher vom Parameter p ab, der die Erfolgswahrscheinlichkeit aller durchgeführten Experimente darstellt. Darüber hinaus ist die Wahrscheinlichkeit p für alle Experimente gleich.

Negative Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche beschreibt, die erforderlich sind, um eine bestimmte Anzahl positiver Ergebnisse zu erhalten.

Daher weist eine negative Binomialverteilung zwei charakteristische Parameter auf: r ist die Anzahl der gewünschten erfolgreichen Ergebnisse und p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit für jedes durchgeführte Bernoulli-Experiment.

Somit definiert eine negative Binomialverteilung einen Prozess, bei dem so viele Bernoulli-Versuche durchgeführt werden, wie nötig sind, um positive Ergebnisse zu erhalten. Darüber hinaus sind alle diese Bernoulli-Versuche unabhängig und haben eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit .

Beispielsweise gibt eine Zufallsvariable, die einer negativen Binomialverteilung folgt, an, wie oft ein Würfel gewürfelt werden muss, bis die Zahl 6 dreimal gewürfelt wird.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl erfolgreicher Fälle bei einer zufälligen Extraktion ohne Ersetzung von n Elementen aus einer Grundgesamtheit beschreibt.

Das heißt, die hypergeometrische Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, x Erfolge zu erzielen, wenn n Elemente aus einer Population extrahiert werden, ohne eines davon zu ersetzen.

Daher hat die hypergeometrische Verteilung drei Parameter:

• N : ist die Anzahl der Elemente in der Population (N = 0, 1, 2,…).
• K : ist die maximale Anzahl von Erfolgsfällen (K = 0, 1, 2,…,N). Da in einer hypergeometrischen Verteilung ein Element nur als „Erfolg“ oder „Misserfolg“ betrachtet werden kann, ist NK die maximale Anzahl von Misserfolgsfällen.
• n : ist die Anzahl der durchgeführten Abrufe ohne Ersetzung.

Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung

Schließlich werden wir den Unterschied zwischen einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung und einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung sehen, da es wichtig ist zu wissen, wie man diese beiden Arten von Verteilungen unterscheiden kann.

Der Unterschied zwischen einer diskreten Verteilung und einer kontinuierlichen Verteilung besteht in der Anzahl der Werte, die sie annehmen können. Eine kontinuierliche Verteilung kann jeden beliebigen Wert annehmen, eine diskrete Verteilung hingegen akzeptiert keine Werte, sondern nur eine endliche Anzahl von Werten.

Eine Möglichkeit, kontinuierliche Verteilungen von diskreten Verteilungen zu unterscheiden, besteht darin, zu bestimmen, welche Art von Zahlen sie enthalten können. Normalerweise kann eine kontinuierliche Verteilung jeden Wert annehmen, einschließlich Dezimalzahlen, während diskrete Verteilungen nur ganze Zahlen annehmen können. Bedenken Sie, dass dieser Tipp nicht in allen Fällen funktioniert, aber in den allermeisten Fällen.