Was ist erinnerungsloses eigentum? (definition & #038; beispiel)

In der Statistik wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als gedächtnislos bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines zukünftigen Ereignisses nicht durch das Eintreten vergangener Ereignisse beeinflusst wird.

Es gibt nur zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der gedächtnislosen Eigenschaft:

• Die Exponentialverteilung mit nicht negativen reellen Zahlen.
• Die geometrische Verteilung mit nicht negativen ganzen Zahlen.

Diese beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden verwendet, um die erwartete Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses zu modellieren.

Es stellt sich heraus, dass uns die Kenntnis, wie viel Zeit bereits vergangen ist, zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht wirklich sagt, ob ein Ereignis eher früher oder später eintreten wird.

Die folgenden Beispiele helfen uns, die Eigenschaft der Erinnerungslosigkeit besser zu verstehen.

Eine Intuition von Eigentum ohne Erinnerung

Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

Nicht ohne Erinnerung

Es ist bekannt, dass eine bestimmte Laptop-Marke im Durchschnitt etwa 6 Jahre hält, bevor sie kaputt geht. Wenn wir also wissen, dass ein bestimmter Laptop 5 Jahre alt ist, ist die erwartete Zeit bis zum Tod recht kurz. Wenn ein anderer Laptop jedoch erst 1 Jahr alt ist, ist die voraussichtliche Zeit bis zum Tod recht lang.

Wenn wir in diesem Beispiel wissen, wie viel Zeit während der Lebensdauer jedes Laptops vergangen ist, erfahren wir, wie lange der Laptop weiterarbeiten wird, bis er ausfällt. Ohne Gedächtnis hätte diese Wahrscheinlichkeitsverteilung also keine Eigenschaft.

Ohne Erinnerung

Ich schätze, Jessica besitzt einen Supermarkt. Sie möchte wissen, wie lange sie warten muss, bis der nächste Kunde den Laden betritt.

In diesem Beispiel ist die Kenntnis, wann der letzte Kunde das Geschäft betreten hat, für die Vorhersage, wann der nächste Kunde das Geschäft betreten wird, nicht wirklich hilfreich, da jeder Kunde unabhängig ist und ein individuelles Verhalten zeigt.

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung hätte also eine gedächtnislose Eigenschaft. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines zukünftigen Ereignisses wird nicht durch das Eintreten vergangener Ereignisse beeinflusst.

Die gedächtnislose Eigenschaft: eine formale Definition

Formal statistisch gesehen soll eine Zufallsvariable X einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer gedächtnislosen Eigenschaft folgen, wenn a und b gelten   in {0, 1, 2, …} gilt:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Angenommen, wir haben eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer gedächtnislosen Eigenschaft und X ist die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg. Wenn a = 30 und b = 10, dann würden wir sagen:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

Mit anderen Worten: Wenn wir 30 erfolglose Versuche hatten, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bis Versuch Nr. 40 oder später warten müssen, um erfolgreich zu sein, genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, bei Null anzufangen und bis Versuch Nr. 10 zu warten. oder mehr, um erfolgreich zu sein.

Da diese Wahrscheinlichkeitsverteilung eine erinnerungslose Eigenschaft hat, bedeutet dies, dass die Kenntnis der Anzahl der Ausfälle, die wir bis zu einem bestimmten Punkt hatten, immer noch keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Ausfälle macht.

Die gedächtnislose Eigenschaft: ein Beispiel

Nehmen wir an, dass durchschnittlich 30 Kunden pro Stunde ein Geschäft betreten und dass die Zeit zwischen den Ankünften exponentiell verteilt ist. Zwischen aufeinanderfolgenden Besuchen vergehen durchschnittlich 2 Minuten.

Geht davon aus, dass seit der Ankunft des letzten Kunden 10 Minuten vergangen sind. Da dies ein ungewöhnlich langer Zeitraum ist, ist es wahrscheinlicher, dass ein Kunde innerhalb einer Minute eintrifft.

Da die Exponentialverteilung jedoch eine erinnerungslose Eigenschaft hat, ist dies nicht der Fall. Die Zeit, die Sie mit dem Warten auf den nächsten Kunden verbringen, hängt nicht von der Zeit ab, die seit der Ankunft des letzten Kunden vergangen ist.

Wir können dies mithilfe der CDF der Exponentialverteilung beweisen:

CDF: 1 – e ^-λx

wobei λ als 1/durchschnittliche Zwischenankunftszeit berechnet wird. In unserem Beispiel ist λ = 1/2 = 0,5.

Wenn wir a = 10 und b = 1 setzen, dann gilt:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

Unabhängig davon, wie viel Zeit seit der Ankunft des letzten Kunden vergangen ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Kunden mehr als eine Minute vergehen wird, 0,6065 .