Ein beispiel für einen z-test: definition, formel und beispiel

Mit einem Z-Test bei einer Stichprobe wird getestet, ob der Grundgesamtheitsmittelwert kleiner, größer oder gleich einem bestimmten Wert ist.

Bei diesem Test wird davon ausgegangen, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Formel zur Durchführung eines z-Tests an einer Probe.
• Die Annahmen eines Z-Tests bei einer Stichprobe.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines AZ-Tests an einer Probe.

Lass uns gehen!

Ein Beispiel für einen Z-Test: Formel

Ein Z-Test bei einer Stichprobe verwendet immer eine der folgenden Null- und Alternativhypothesen:

1. Zweiseitiger Z-Test

• H ₀ : μ = μ ₀ (der Populationsmittelwert entspricht einem hypothetischen Wert μ ₀ )
• H _A : μ ≠ μ ₀ (der Bevölkerungsmittelwert ist nicht gleich einem hypothetischen Wert μ ₀ )

2. Linker Z-Test

• H ₀ : μ ≥ μ ₀ (der Bevölkerungsmittelwert ist größer oder gleich einem hypothetischen Wert μ ₀ )
• H _A : μ < μ ₀ (der Bevölkerungsmittelwert ist kleiner als ein hypothetischer Wert μ ₀ )

3. Z-Test mit geradem Schwanz

• H ₀ : μ ≤ μ ₀ (der Populationsmittelwert ist kleiner oder gleich einem hypothetischen Wert μ ₀ )
• H _A : μ > μ ₀ (der Bevölkerungsmittelwert ist größer als ein hypothetischer Wert μ ₀ )

Wir verwenden die folgende Formel, um die Z-Test-Statistik zu berechnen:

z = ( X – μ ₀ ) / (σ/√ n )

Gold:

• x : Stichprobenmittel
• μ ₀ : hypothetischer Bevölkerungsdurchschnitt
• σ: Populationsstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Wenn der p-Wert, der der Z-Test-Statistik entspricht, kleiner ist als das von Ihnen gewählte Signifikanzniveau (übliche Optionen sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Nullhypothese ablehnen .

Ein Beispiel für einen Z-Test: Annahmen

Damit die Ergebnisse eines Z-Tests bei einer Stichprobe gültig sind, müssen die folgenden Annahmen erfüllt sein:

• Die Daten sind kontinuierlich (nicht diskret).
• Bei den Daten handelt es sich um eine einfache Zufallsstichprobe der interessierenden Grundgesamtheit.
• Die Daten in der Grundgesamtheit sind annähernd normalverteilt .
• Die Populationsstandardabweichung ist bekannt.

AZ-Testmuster : Beispiel

Angenommen, der IQ einer Population ist normalverteilt mit einem Mittelwert von μ = 100 und einer Standardabweichung von σ = 15.

Ein Wissenschaftler möchte wissen, ob ein neues Medikament den IQ-Wert beeinflusst. Deshalb rekrutiert sie 20 Patienten, die es einen Monat lang nutzen, und zeichnet am Ende des Monats deren IQ-Werte auf:

Um dies zu testen, führt sie einen Z-Test bei einer Stichprobe auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 mit den folgenden Schritten durch:

Schritt 1: Sammeln Sie Beispieldaten.

Angenommen, sie sammelt eine einfache Zufallsstichprobe mit den folgenden Informationen:

• n (Stichprobengröße) = 20
• x (durchschnittlicher IQ der Stichprobe) = 103,05

Schritt 2: Annahmen definieren.

Sie wird den Z-Test an einer Stichprobe mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀ : µ = 100
• H _A : μ ≠ 100

Schritt 3: Berechnen Sie die Z-Test-Statistik.

Die Z-Teststatistik wird wie folgt berechnet:

• z = (x – μ) / (σ√ n )
• z = (103,05 – 100) / (15/√ 20 )
• z = 0,90933

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der Z-Test-Statistik.

Laut dem Z-Score-zu-P-Wert-Rechner beträgt der mit z = 0,90933 verbundene zweiseitige p-Wert 0,36318 .

Schritt 5: Ziehen Sie ein Fazit.

Da der p-Wert (0,36318) nicht kleiner als das Signifikanzniveau (0,05) ist, wird der Wissenschaftler die Nullhypothese nicht ablehnen können.

Es gibt nicht genügend Beweise dafür, dass das neue Medikament den IQ-Wert signifikant beeinflusst.

Hinweis: Sie können diesen gesamten Z-Test für eine Stichprobe auch mit dem Z-Test-Rechner für eine Stichprobe durchführen.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie einen Beispiel-Z-Test mit unterschiedlicher Statistiksoftware durchführen:

So führen Sie Z-Tests in Excel durch
So führen Sie Z-Tests in R durch
So führen Sie Z-Tests in Python durch