T-test bei einer stichprobe: definition, formel und beispiel

Ein T-Test bei einer Stichprobe wird verwendet, um zu testen, ob der Mittelwert einer Grundgesamtheit einem bestimmten Wert entspricht oder nicht.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation, einen T-Test bei einer Stichprobe durchzuführen.
• Die Formel zur Durchführung eines T-Tests bei einer Stichprobe.
• Die Annahmen, die erfüllt sein müssen, um einen T-Test bei einer Stichprobe durchzuführen.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines T-Tests bei einer Stichprobe.

Ein Beispiel für einen T-Test: Motivation

Nehmen wir an, wir möchten wissen, ob das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart in Florida 310 Pfund beträgt oder nicht. Da es in Florida Tausende von Schildkröten gibt, wäre es äußerst zeitaufwändig und teuer, jede Schildkröte einzeln zu wiegen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von 40 Schildkröten nehmen und das Durchschnittsgewicht der Schildkröten in dieser Stichprobe verwenden, um den wahren Bevölkerungsdurchschnitt zu schätzen:

Es ist jedoch praktisch garantiert, dass das Durchschnittsgewicht der Schildkröten in unserer Stichprobe von 310 Pfund abweicht. Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist . Glücklicherweise können wir diese Frage mit einem T-Test bei einer Stichprobe beantworten.

T-Test bei einer Stichprobe: Formel

Ein t-Test bei einer Stichprobe verwendet immer die folgende Nullhypothese:

• H ₀ : μ = μ ₀ (der Populationsmittelwert entspricht einem hypothetischen Wert μ ₀ )

Die Alternativhypothese kann bilateral, links oder rechts sein:

• H ₁ (zweiseitig): μ ≠ μ ₀ (der Populationsmittelwert ist nicht gleich einem hypothetischen Wert μ ₀ )
• H ₁ (links): μ < μ ₀ (der Bevölkerungsmittelwert ist kleiner als ein hypothetischer Wert μ ₀ )
• H ₁ (rechts): μ > μ ₀ (der Bevölkerungsmittelwert ist größer als ein hypothetischer Wert μ ₀ )

Wir verwenden die folgende Formel, um die T-Test-Statistik zu berechnen:

t = ( X – μ) / (s/ √n )

Gold:

• x : Stichprobenmittel
• μ ₀ : hypothetischer Bevölkerungsdurchschnitt
• s: Stichprobenstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Wenn der p-Wert, der der T-Test-Statistik mit (n-1) Freiheitsgraden entspricht, kleiner als das gewählte Signifikanzniveau ist (übliche Optionen sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Nullhypothese ablehnen.

Ein Stichproben-T-Test: Hypothesen

Damit die Ergebnisse eines t-Tests bei einer Stichprobe gültig sind, müssen die folgenden Annahmen erfüllt sein:

• Die untersuchte Variable muss entweder eine Intervallvariable oder eine Verhältnisvariable sein.
• Beobachtungen in der Stichprobe müssen unabhängig sein.
• Die untersuchte Variable muss eine annähernd normale Verteilung aufweisen. Sie können diese Annahme testen, indem Sie ein Histogramm erstellen und visuell prüfen, ob die Verteilung ungefähr eine „Glockenform“ hat.
• Die untersuchte Variable darf keine Ausreißer enthalten. Sie können diese Hypothese überprüfen, indem Sie ein Boxplot erstellen und visuell auf Ausreißer prüfen.

Ein Beispiel-T-Test : Beispiel

Angenommen, wir möchten wissen, ob das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart 310 Pfund beträgt oder nicht. Um dies zu testen, führen wir einen t-Test bei einer Stichprobe auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 mit den folgenden Schritten durch:

Schritt 1: Sammeln Sie Beispieldaten.

Angenommen, wir sammeln eine Zufallsstichprobe von Schildkröten mit den folgenden Informationen:

• Stichprobengröße n = 40
• Durchschnittliches Probengewicht x = 300
• Stichprobenstandardabweichung s = 18,5

Schritt 2: Annahmen definieren.

Wir werden den Ein-Stichproben-t-Test mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀ : μ = 310 (der Bevölkerungsdurchschnitt beträgt 310 Bücher)
• H ₁ : μ ≠ 310 (der Bevölkerungsmittelwert beträgt nicht 310 Pfund)

Schritt 3: Berechnen Sie die t -Test-Statistik.

t = ( x – μ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18,5/ √40 ) = -3,4187

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der t- Test-Statistik.

Laut dem T-Score-zu-P-Wert-Rechner beträgt der mit t = -3,4817 und Freiheitsgraden = n-1 = 40-1 = 39 verbundene p-Wert 0,00149 .

Schritt 5: Ziehen Sie ein Fazit.

Da dieser p-Wert unter unserem Signifikanzniveau α = 0,05 liegt, lehnen wir die Nullhypothese ab. Wir haben genügend Beweise dafür, dass das Durchschnittsgewicht dieser Schildkrötenart nicht 310 Pfund beträgt.

Hinweis: Sie können diesen gesamten T-Test bei einer Stichprobe auch einfach mit dem T-Test-Rechner bei einer Stichprobe durchführen.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie mit verschiedenen Statistikprogrammen einen T-Test bei einer Stichprobe durchführen:

So führen Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in Excel durch
So führen Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in SPSS durch
So führen Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in Stata durch
So führen Sie einen t-Test bei einer Stichprobe in R durch
So führen Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in Python durch
So führen Sie einen t-Test bei einer Stichprobe auf einem TI-84-Rechner durch