Was ist der endliche populationskorrekturfaktor?

Die meisten Formeln zur Berechnung von Standardfehlern basieren auf der Idee, dass (1) Stichproben mit Ersetzung ausgewählt werden oder (2) Stichproben aus einer unendlichen Grundgesamtheit ausgewählt werden.

In der tatsächlichen Forschung ist keine dieser Ideen wahr. Glücklicherweise ist dies im Allgemeinen kein Problem, wenn die Stichprobengröße weniger als 5 % der Gesamtpopulationsgröße beträgt.

Wenn die Stichprobengröße jedoch mehr als 5 % der Gesamtpopulation beträgt, ist es vorzuziehen, eine endliche Populationskorrektur (oft als FPC abgekürzt) anzuwenden, die wie folgt berechnet wird:

FPC = √ (Nn) / (N-1)

Gold:

• N: Bevölkerungsgröße
• n: Stichprobengröße

Verwendung des endlichen Populationskorrekturfaktors

Um eine endliche Populationskorrektur anzuwenden, multiplizieren Sie sie einfach mit dem Standardfehler, den Sie ursprünglich verwendet hätten.

Der Standardfehler eines Mittelwerts wird beispielsweise wie folgt berechnet:

Standardfehler des Mittelwerts: s / √ n

Durch Anwendung der endlichen Populationskorrektur ergibt sich die Formel:

Standardfehler des Mittelwerts: s / √ n * √ (Nn) / (N-1)

Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie die endliche Populationskorrektur in verschiedenen Szenarien verwendet wird.

Beispiel 1: Konfidenzintervall für einen Anteil

Forscher wollen den Anteil der Einwohner eines Landkreises von 1.300 Personen abschätzen, die ein bestimmtes Gesetz befürworten. Sie wählen eine Zufallsstichprobe von 100 Einwohnern aus und befragen sie zu ihrer Einstellung zum Gesetz. Hier sind die Ergebnisse:

• Stichprobengröße n = 100
• Anteil der Befürworter des Gesetzes p = 0,56

Im Allgemeinen lautet die Formel zur Berechnung eines 95 %-Konfidenzintervalls für einen Bevölkerungsanteil wie folgt:

95 % KI = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Allerdings beträgt unsere Stichprobengröße in diesem Beispiel 100/1300 = 7,7 % der Bevölkerung, was mehr als 5 % bedeutet. Daher müssen wir eine endliche Populationskorrektur auf unsere Formel für das Konfidenzintervall anwenden:

95 % KI = p +/- z*(√ p(1-p)/n ) * √ (Nn) / (N-1)

Somit kann unser 95 %-Konfidenzintervall wie folgt berechnet werden:

95 % KI = 0,56 +/- 1,96*(√ 0,56(1-0,56) / 100 ) * √ (1300-100) / (1300-1) = [0,4665, 0,6535]

Beispiel 2: Konfidenzintervall für einen Mittelwert

Forscher wollen das durchschnittliche Gewicht einer bestimmten Art unter 500 Schildkröten schätzen. Also wählen sie eine Zufallsstichprobe von 40 Schildkröten aus und wiegen jede davon. Hier sind die Ergebnisse:

• Stichprobengröße n = 40
• Durchschnittliches Probengewicht x = 300
• Stichprobenstandardabweichung s = 18,5

Im Allgemeinen lautet die Formel zur Berechnung eines 95 %-Konfidenzintervalls für einen Grundgesamtheitsmittelwert:

95 % KI = x +/- t _α/2 *(s/√n)

Allerdings beträgt unsere Stichprobengröße in diesem Beispiel 40/500 = 8 % der Bevölkerung, also mehr als 5 %. Daher müssen wir eine endliche Populationskorrektur auf unsere Formel für das Konfidenzintervall anwenden:

95 % KI = x +/- t _α/2 *(s/√n) * √ (Nn) / (N-1)

Somit kann unser 95 %-Konfidenzintervall wie folgt berechnet werden:

95 % KI = 300 +/- 2,0227*(18,5/√ 40 ) * √ (500-40) / (500-1) = [294,32, 305,69]

Zusätzliche Ressourcen

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Fehlermarge versus Standardfehler: Was ist der Unterschied?
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