Was ist fehlerausbreitung? (definition & #038; beispiel)
Eine Fehlerausbreitung tritt auf, wenn Sie einige Größen a , b , c , … mit den Unsicherheiten δa , δb , δc … messen und dann eine andere Größe Q anhand der Messungen von a , b , c usw. berechnen möchten.
Es stellt sich heraus, dass sich die Unsicherheiten δ a , δ b , δc bis zur Unsicherheit von Q ausbreiten (d. h. „ausbreiten“).
Um die Unsicherheit von Q , bezeichnet als δ Q , zu berechnen, können wir die folgenden Formeln verwenden.
Hinweis: Für jede der folgenden Formeln wird davon ausgegangen, dass die Größen a , b , c usw. enthalten zufällige und unkorrelierte Fehler.
Addition oder Subtraktion
Wenn Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Dann ist δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Beispiel: Angenommen, Sie messen die Länge einer Person vom Boden bis zur Taille mit 40 Zoll ± 0,18 Zoll. Dann messen Sie die Länge einer Person von der Taille bis zum Scheitel des Kopfes auf 30 Zoll ± 0,06 Zoll.
Angenommen, Sie verwenden diese beiden Maße dann, um die Gesamtgröße der Person zu berechnen. Die Höhe würde wie folgt berechnet: 40 Zoll + 30 Zoll = 70 Zoll. Die Unsicherheit dieser Schätzung würde wie folgt berechnet:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0,1897
Dies ergibt ein Endmaß von 70 ± 0,1897 Zoll.
Multiplikation oder Division
Wenn Q = (ab…c) / (xy…z)
Dann ist δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Beispiel: Angenommen, Sie möchten das Verhältnis der Länge von Element a zur Länge von Element b messen. Sie messen die Länge von a mit 20 Zoll ± 0,34 Zoll und die Länge von b mit 15 Zoll ± 0,21 Zoll.
Das als Q = a/b definierte Verhältnis würde wie folgt berechnet: 20/15 = 1,333 . Die Unsicherheit dieser Schätzung würde wie folgt berechnet:
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1,333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0,0294
Dies ergibt ein endgültiges Verhältnis von 1,333 ± 0,0294 Zoll.
Gemessene Menge multipliziert mit der genauen Zahl
Wenn A genau bekannt ist und Q = A x
Dann ist δ Q = |A|δx
Beispiel: Angenommen, Sie messen den Durchmesser eines Kreises mit 5 Metern ± 0,3 Metern. Mit diesem Wert berechnen Sie dann den Umfang des Kreises c = πd .
Der Umfang würde wie folgt berechnet werden: c = πd = π*5 = 15,708 . Die Unsicherheit dieser Schätzung würde wie folgt berechnet:
- δQ = |A|δx
- δQ = | π | * 0,3
- δQ = 0,942
Der Umfang des Kreises beträgt also 15,708 ± 0,942 Meter.
Unsicherheit in einer Macht
Wenn n eine exakte Zahl ist und Q = x n
Dann ist δ Q = | Q | * | n | * (δx /x )
Beispiel: Angenommen, Sie messen die Seite eines Würfels mit s = 2 Zoll ± 0,02 Zoll. Mit diesem Wert berechnen Sie dann das Volumen des Würfels v = s 3 .
Das Volumen würde wie folgt berechnet: v = s 3 = 2 3 = 8 Zoll 3 . Die Unsicherheit dieser Schätzung würde wie folgt berechnet:
- δQ = | Q | * | n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0,24
Das Volumen des Würfels beträgt also 8 ± 0,24 Zoll. 3 .
Allgemeine Formel zur Fehlerausbreitung
Wenn Q = Q(x) eine Funktion von x ist, kann die allgemeine Fehlerfortpflanzungsformel wie folgt definiert werden:
δQ = |dQ / dX |δx
Beachten Sie, dass Sie diese Formeln selten von Grund auf ableiten müssen. Es kann jedoch hilfreich sein, die allgemeine Formel zu kennen, mit der sie abgeleitet werden.
Über den Autor
Dr. Benjamin Anderson
Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen