Fischverteilung

Von Dr. Benjamin Anderson August 3, 2023 Wahrscheinlichkeit Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was die Poisson-Verteilung in der Statistik ist und wofür sie verwendet wird. Hier finden Sie die Definition der Poisson-Verteilung, Beispiele für Poisson-Verteilungen und ihre Eigenschaften. Schließlich können Sie mit einem Online-Rechner jede beliebige Wahrscheinlichkeit der Poisson-Verteilung berechnen.

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit definiert, mit der eine bestimmte Anzahl von Ereignissen über einen bestimmten Zeitraum auftritt.

Mit anderen Worten: Die Poisson-Verteilung wird zur Modellierung von Zufallsvariablen verwendet, die beschreiben, wie oft sich ein Phänomen in einem Zeitintervall wiederholt.

Die Poisson-Verteilung hat einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben λ dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Intervall voraussichtlich auftritt.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Im Allgemeinen wird die Poisson-Verteilung zur statistischen Modellierung von Ereignissen mit sehr geringer Eintrittswahrscheinlichkeit verwendet. Unten sehen Sie einige Beispiele für diese Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Beispiele für die Poisson-Verteilung

Nachdem wir die Definition der Poisson-Verteilung gesehen haben, finden Sie hier einige Beispiele für die Poisson-Verteilung.

Beispiele für Poisson-Verteilung:

Die Anzahl der Personen, die in einer Stunde ein Geschäft betreten.
Die Anzahl der Fahrzeuge, die in einem Monat die Grenze zwischen zwei Ländern überqueren.
Die Anzahl der Benutzer, die an einem Tag auf eine Webseite zugreifen.
Die Anzahl fehlerhafter Teile, die eine Fabrik an einem Tag produziert.
Die Anzahl der Anrufe, die eine Telefonzentrale pro Minute erhält.

Formel zur Fischverteilung

In einer Poisson-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von x Ereignissen gleich der Zahl e hoch -λ multipliziert mit λ hoch x und dividiert durch die Fakultät von x .

Daher lautet die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit einer Poisson-Verteilung :

👉 Mit dem Rechner unten können Sie die Wahrscheinlichkeit einer Variablen berechnen, die der Poisson-Verteilung folgt.

Da es sich bei der Poisson-Verteilung um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, müssen Sie zur Bestimmung einer kumulativen Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeiten aller Werte bis zum betreffenden Wert ermitteln und dann alle berechneten Wahrscheinlichkeiten addieren.

Übung zur Poisson-Verteilung gelöst

Die Anzahl der von einer Marke verkauften Produkte folgt einer Poisson-Verteilung von λ=5 Einheiten/Tag. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie an einem Tag nur 7 Einheiten verkauft haben? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie an einem Tag 3 oder weniger Einheiten verkauft haben?

Um die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, die das Problem erfordert, müssen wir die Poisson-Verteilungsformel anwenden (siehe oben). Mit dieser Formel berechnen wir also die Wahrscheinlichkeit, 7 Einheiten an einem Tag zu verkaufen:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

Zweitens werden wir gebeten, die kumulative Wahrscheinlichkeit für den Verkauf von 3 oder weniger Einheiten zu bestimmen. Um diese Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, müssen wir daher die Wahrscheinlichkeit des Verkaufs von 1 Einheit, 2 Einheiten und 3 Einheiten separat berechnen und diese dann addieren.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Daher berechnen wir zunächst jede Wahrscheinlichkeit einzeln:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Als nächstes addieren wir die drei berechneten Wahrscheinlichkeiten, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, drei oder weniger Einheiten an einem Tag zu verkaufen.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Merkmale der Poisson-Verteilung

In diesem Abschnitt werden wir sehen, was die Merkmale der Poisson-Verteilung sind.

Die Poisson-Verteilung wird durch einen einzelnen charakteristischen Parameter, λ, definiert, der angibt, wie oft das untersuchte Ereignis während eines bestimmten Zeitraums voraussichtlich auftritt.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Der Mittelwert einer Poisson-Verteilung ist gleich ihrem charakteristischen Parameter λ.

$E[X]=\lambda$

Ebenso entspricht die Varianz einer Poisson-Verteilung ihrem charakteristischen Parameter λ.

$Var(X)=\lambda$

Wenn λ eine ganze Zahl ist, ist der Modus der Poisson-Verteilung bimodal und seine Werte sind λ und λ-1. Wenn λ hingegen keine ganze Zahl ist, ist der Modus der Poisson-Verteilung die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich λ ist.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Es gibt keine spezielle Formel zur Bestimmung des Medians einer Poisson-Verteilung, aber Sie können ihr Intervall ermitteln:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung lautet wie folgt:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

Das Hinzufügen unabhängiger Poisson-Zufallsvariablen führt zu einer weiteren Poisson-Zufallsvariablen, deren charakteristischer Parameter die Summe der Parameter der ursprünglichen Variablen ist.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Eine Binomialverteilung kann als Poisson-Verteilung angenähert werden, wenn die Gesamtzahl der Beobachtungen ausreichend groß ist (n≥100), wobei λ das Produkt der beiden charakteristischen Parameter der Binomialverteilung ist.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Siehe: Eigenschaften der Binomialverteilung