Fisher-z-transformation: definition und beispiel

Die Fisher-Z-Transformation ist eine Formel, mit der wir den Pearson-Korrelationskoeffizienten (r) in einen Wert (z _r ) umwandeln können, der zur Berechnung eines Konfidenzintervalls für den Pearson-Korrelationskoeffizienten verwendet werden kann.

Die Formel lautet wie folgt:

z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2

Wenn sich beispielsweise herausstellt, dass der Pearson-Korrelationskoeffizient zwischen zwei Variablen r = 0,55 ist, dann würden wir _zr wie folgt berechnen:

• z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2
• z _r = ln((1+.55) / (1-.55)) / 2
• z _r = 0,618

Es stellt sich heraus, dass die Stichprobenverteilung dieser transformierten Variablen einer Normalverteilung folgt.

Dies ist wichtig, da wir damit ein Konfidenzintervall für einen Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnen können.

Ohne die Durchführung dieser Fisher-Z-Transformation wären wir nicht in der Lage, ein zuverlässiges Konfidenzintervall für den Pearson-Korrelationskoeffizienten zu berechnen.

Das folgende Beispiel zeigt, wie man in der Praxis ein Konfidenzintervall für einen Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnet.

Beispiel: Berechnung eines Konfidenzintervalls für den Korrelationskoeffizienten

Angenommen, wir möchten den Korrelationskoeffizienten zwischen der Größe und dem Gewicht der Einwohner eines bestimmten Landkreises schätzen. Wir wählen eine Zufallsstichprobe von 60 Einwohnern aus und finden folgende Informationen:

• Stichprobengröße n = 60
• Korrelationskoeffizient zwischen Größe und Gewicht r = 0,56

So ermitteln Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den Bevölkerungskorrelationskoeffizienten:

Schritt 1: Führen Sie die Fisher-Transformation durch.

Sei z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2 = ln((1+.56) / (1-.56)) / 2 = 0,6328

Schritt 2: Ermitteln Sie die Ober- und Untergrenze des Protokolls.

Sei L = z _r – (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 – (1,96 /√ 60-3 ) = 0,373

Sei U = z _r + (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 + (1,96 /√ 60-3 ) = 0,892

Schritt 3: Finden Sie das Konfidenzintervall.

Konfidenzintervall = [(e ^2L -1)/(e ^2L +1), (e ^2U -1)/(e ^2U +1)]

Konfidenzintervall = [(e ^2(.373) -1)/(e ^2(.373) +1), (e ^2(.892) -1)/(e ^2(.892) +1)] = [ .3568, .7126]

Hinweis: Sie können dieses Konfidenzintervall auch mithilfe des Konfidenzintervalls für einen Korrelationskoeffizientenrechner ermitteln.

Dieses Intervall liefert uns einen Wertebereich, der mit hoher Wahrscheinlichkeit den wahren Pearson-Korrelationskoeffizienten zwischen Gewicht und Populationsgröße mit hoher Sicherheit enthält.

Beachten Sie die Bedeutung der Fisher-Z-Transformation: Dies war der erste Schritt, den wir durchführen mussten, bevor wir das Konfidenzintervall tatsächlich berechnen konnten.

Zusätzliche Ressourcen

Einführung in den Pearson-Korrelationskoeffizienten
Die fünf Hypothesen der Pearson-Korrelation
So berechnen Sie manuell einen Pearson-Korrelationskoeffizienten