Geometrische verteilung

In diesem Artikel wird erklärt, was geometrische Verteilung in der Statistik ist. Sie finden daher die Definition der geometrischen Verteilung, Beispiele für geometrische Verteilungen und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung. Darüber hinaus können Sie mit einem Online-Rechner jede Wahrscheinlichkeit einer geometrischen Verteilung berechnen.

Was ist geometrische Verteilung?

Die geometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche definiert, die erforderlich sind, um das erste erfolgreiche Ergebnis zu erhalten.

Dabei handelt es sich um ein geometrisches Verteilungsmodell für Prozesse, bei denen Bernoulli-Experimente wiederholt werden, bis eines davon ein positives Ergebnis liefert.

Denken Sie daran, dass ein Bernoulli-Test ein Experiment ist, das zwei mögliche Ergebnisse hat: „Erfolg“ und „Misserfolg“. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ p ist, ist die Wahrscheinlichkeit des „Misserfolgs“ q=1-p .

Die geometrische Verteilung hängt daher vom Parameter p ab, der die Erfolgswahrscheinlichkeit aller durchgeführten Experimente darstellt. Darüber hinaus ist die Wahrscheinlichkeit p für alle Experimente gleich.

Ebenso kann die geometrische Verteilung auch als die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg definiert werden. In diesem Fall kann die Verteilung den Wert x=0 annehmen und ihre Formel variiert geringfügig. Am häufigsten wird jedoch auf die Definition der geometrischen Verteilung zurückgegriffen, die am Anfang dieses Abschnitts erläutert wurde.

Beispiele für geometrische Verteilungen

Nachdem wir die Definition der geometrischen Verteilung kennengelernt haben, zeigt dieser Abschnitt mehrere Beispiele für Zufallsvariablen, die diesem Verteilungstyp folgen.

Beispiele für geometrische Verteilung:

1. Die Anzahl der Münzwürfe, die durchgeführt werden, bis „Kopf“ erzielt wird.
2. Die Anzahl der Autos, die auf einer Straße vorbeifahren, bis sie ein rotes Auto sehen.
3. Die Häufigkeit, mit der eine Person die Fahrprüfung absolvieren muss, bis sie sie besteht.
4. Die Anzahl der Würfelwürfe, die durchgeführt werden, bis die Zahl 6 gewürfelt wird.
5. Die Anzahl der Freiwürfe, die ausgeführt werden müssen, bis ein Tor erzielt wird.

Geometrische Verteilungsformel

In einer geometrischen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, x Versuche durchführen zu müssen, um ein positives Ergebnis zu erhalten, das Produkt des Parameters p mal (1-p) hoch x-1 .

Daher lautet die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit der geometrischen Verteilung :

👉 Mit dem Rechner unten können Sie die Wahrscheinlichkeit einer Variablen berechnen, die der geometrischen Verteilung folgt.

Andererseits lautet die Formel für die Verteilungsfunktion, die es ermöglicht, eine kumulative Wahrscheinlichkeit der geometrischen Verteilung zu berechnen, wie folgt:

Übung zur geometrischen Verteilung gelöst

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Würfelwurf die Zahl 5 zu erhalten?

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses Problems ist eine geometrische Verteilung, da sie die Anzahl der erforderlichen Würfe (drei) definiert, um ein erfolgreiches Ergebnis zu erzielen (die Zahl 5).

Wir müssen daher zunächst die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Starts berechnen. In diesem Fall gibt es nur ein positives Ergebnis von sechs möglichen Ergebnissen, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit p :

Und dann wenden wir die geometrische Verteilungsformel an, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der wir in der Übung gefragt werden:

Geometrische Verteilungseigenschaften

Die geometrische Verteilung erfüllt die folgenden Eigenschaften:

• Die geometrische Verteilung hat einen charakteristischen Parameter p , der die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes durchgeführten Experiments darstellt.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

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• Die Varianz der geometrischen Verteilung entspricht der Differenz von 1 minus p über dem Quadrat von p .

• Die Formel für die Massenfunktion der geometrischen Verteilung lautet:

• Ebenso lautet die Formel für die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung:

• Die geometrische Verteilung ist ein Sonderfall der negativen Binomialverteilung. Genauer gesagt entspricht dies einer negativen Binomialverteilung mit dem Parameter r=1 .

Geometrischer Verteilungsrechner

Geben Sie den Wert des Parameters p und den Wert von x in den folgenden Rechner ein, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit auswählen, die Sie berechnen möchten, und die Zahlen mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingeben, zum Beispiel 0,1667.