T-test für gepaarte stichproben: definition, formel und beispiel

Ein t-Test für gepaarte Stichproben wird verwendet, um die Mittelwerte zweier Stichproben zu vergleichen, wenn jede Beobachtung in einer Stichprobe mit einer Beobachtung in der anderen Stichprobe verknüpft werden kann.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation, einen T-Test für gepaarte Stichproben durchzuführen.
• Die Formel zur Durchführung eines T-Tests für gepaarte Stichproben.
• Die Annahmen, die erfüllt sein müssen, um einen T-Test für gepaarte Stichproben durchzuführen.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines T-Tests für gepaarte Stichproben.

T-Test für gepaarte Stichproben: Motivation

Ein T-Test für gepaarte Stichproben wird üblicherweise in zwei Szenarien verwendet:

1. An einem Probanden wird vor und nach einer Behandlung eine Messung durchgeführt – beispielsweise wird der maximale Vertikalsprung von College-Basketballspielern vor und nach ihrer Teilnahme an einem Trainingsprogramm gemessen.

2. Eine Messung wird unter zwei verschiedenen Bedingungen durchgeführt – beispielsweise wird die Reaktionszeit eines Patienten mit zwei verschiedenen Medikamenten gemessen.

In beiden Fällen möchten wir die durchschnittliche Messung zwischen zwei Gruppen vergleichen, in denen jede Beobachtung aus einer Stichprobe mit einer Beobachtung aus der anderen Stichprobe verknüpft werden kann.

T-Test für gepaarte Stichproben: Formel

Ein t-Test für gepaarte Stichproben verwendet immer die folgende Nullhypothese:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind gleich)

Die Alternativhypothese kann bilateral, links oder rechts sein:

• H ₁ (zweiseitig): μ ₁ ≠ μ ₂ (die Mittelwerte der beiden Populationen sind nicht gleich)
• H ₁ (links): μ ₁ < μ ₂ (der Mittelwert von Population 1 ist niedriger als der Mittelwert von Population 2)
• H ₁ (rechts): μ ₁ > μ ₂ (der Mittelwert von Population 1 ist größer als der Mittelwert von Population 2)

Wir verwenden die folgende Formel, um die T-Test-Statistik zu berechnen:

t = x _diff / (s _diff /√n)

Gold:

• x _diff : Beispiel für den Durchschnitt der Unterschiede
• s: Beispiel für die Standardabweichung von Differenzen
• n: Stichprobengröße (d. h. Anzahl der Paare)

Wenn der p-Wert, der der T-Test-Statistik mit (n-1) Freiheitsgraden entspricht, kleiner als das gewählte Signifikanzniveau ist (übliche Optionen sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Nullhypothese ablehnen.

T-Test für gepaarte Stichproben: Annahmen

Damit die Ergebnisse eines t-Tests für gepaarte Stichproben gültig sind, müssen die folgenden Annahmen erfüllt sein:

• Die Teilnehmer sollten zufällig aus der Bevölkerung ausgewählt werden.
• Die Unterschiede zwischen Paaren sollten annähernd normalverteilt sein.
• Bei den Unterschieden sollte es keine extremen Ausreißer geben.

T-Test für gepaarte Stichproben : Beispiel

Angenommen, wir möchten wissen, ob ein bestimmtes Trainingsprogramm in der Lage ist, den maximalen vertikalen Sprung (in Zoll) von College-Basketballspielern zu steigern.

Um dies zu testen, können wir eine einfache Zufallsstichprobe von 20 College-Basketballspielern rekrutieren und jeden ihrer maximalen vertikalen Sprünge messen. Dann können wir jeden Spieler einen Monat lang das Trainingsprogramm anwenden lassen und dann am Ende des Monats erneut seinen maximalen vertikalen Sprung messen.

Um festzustellen, ob das Trainingsprogramm tatsächlich einen Einfluss auf den maximalen vertikalen Sprung hatte, führen wir einen T-Test für gepaarte Stichproben auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 mit den folgenden Schritten durch:

Schritt 1: Berechnen Sie zusammenfassende Daten für die Unterschiede.

• x _diff : Stichprobendurchschnitt der Unterschiede = -0,95
• s: Stichprobenstandardabweichung der Differenzen = 1,317
• n: Stichprobengröße (d. h. Anzahl der Paare) = 20

Schritt 2: Annahmen definieren.

Wir werden den t-Test für gepaarte Stichproben mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind gleich)
• H ₁ : μ ₁ ≠ μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind nicht gleich)

Schritt 3: Berechnen Sie die t -Test-Statistik.

t = x _diff / (s _diff /√n) = -0,95 / (1,317/ √ 20) = -3,226

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der t- Test-Statistik.

Laut dem T-Score-zu-P-Wert-Rechner beträgt der mit t = -3,226 und Freiheitsgraden = n-1 = 20-1 = 19 verbundene p-Wert 0,00445 .

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da dieser p-Wert unter unserem Signifikanzniveau α = 0,05 liegt, lehnen wir die Nullhypothese ab. Wir haben genügend Beweise dafür, dass der durchschnittliche maximale Vertikalsprung der Spieler vor und nach der Teilnahme am Trainingsprogramm unterschiedlich ist.

Hinweis: Sie können diesen gesamten T-Test bei gepaarten Stichproben auch durchführen, indem Sie einfach den T-Test-Rechner für gepaarte Stichproben verwenden.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie mit verschiedenen Statistikprogrammen einen T-Test für gepaarte Stichproben durchführen:

So führen Sie einen T-Test für gepaarte Stichproben in Excel durch
So führen Sie einen T-Test für gepaarte Stichproben in SPSS durch
So führen Sie einen T-Test für gepaarte Stichproben in Stata durch
So führen Sie einen t-Test bei gepaarten Stichproben auf einem TI-84-Rechner durch
So führen Sie einen T-Test für gepaarte Stichproben in R durch
So führen Sie einen T-Test für gepaarte Stichproben in Python durch
So führen Sie einen T-Test für gepaarte Stichproben manuell durch