Gesamtwahrscheinlichkeitssatz

Von Dr. Benjamin Anderson August 1, 2023 Wahrscheinlichkeit Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erläutert, was der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz ist und wofür er in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik verwendet wird. So finden Sie die Formel für den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz, die gelösten Aufgaben und wann der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz verwendet wird.

Was ist der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz ein Gesetz, das es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das nicht Teil eines Stichprobenraums ist, aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse in diesem Stichprobenraum zu berechnen.

Daher wird der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses auf der Grundlage von Teilinformationen über dieses Ereignis zu berechnen. Manchmal können wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht durch direkte Anwendung der Laplace-Regel bestimmen, weil wir nicht über alle notwendigen Informationen verfügen. Wenn wir jedoch Daten über dieses Ereignis im Verhältnis zu anderen Ereignissen kennen, ist der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz normalerweise nützlich.

Kurz gesagt wird der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz verwendet, wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen möchten, aber nur unter bestimmten Bedingungen Informationen darüber haben. Einige Anwendungen dieses Theorems umfassen beispielsweise Experimente mit mehreren Fällen, die Warteschlangentheorie und die Überlebensanalyse.

➤ Siehe: Laplace-Regel

Formel für den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz

Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz besagt, dass bei einer gegebenen Menge von Ereignissen {A ₁ , A ₂ ,…, A _n }, die eine Partition auf dem Stichprobenraum bilden, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B gleich der Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ist Ereignis P(A _i ) durch die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A _i ).

Daher lautet die Formel für den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz :

Gold:

$P(B)$

ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt.
$P(B|A_i)$

ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B bei gegebenem Ereignis A _i .
$P(A_i)$

ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A _i eintritt.

Beachten Sie, dass eine Partition des Stichprobenraums wahrscheinlich als eine Menge miteinander inkompatibler Ereignisse definiert ist, deren Vereinigung den Stichprobenraum bildet.

➤ Siehe: Probenraum

Konkretes Beispiel für den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz

Nachdem wir die Definition des Gesamtwahrscheinlichkeitssatzes und seine Formel gesehen haben, sehen wir uns eine gelöste Übung an, wie eine Wahrscheinlichkeit mit dem Gesamtwahrscheinlichkeitssatz berechnet wird, um seine Bedeutung besser zu verstehen.

Ein Elektronikgeschäft verkauft Fernsehgeräte der drei Marken: Fernseher sind defekt. Wie wahrscheinlich ist es, einen defekten Fernseher zu kaufen?

Die Problemstellung gibt uns die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen ein Kunde die jeweilige TV-Marke kaufen wird:

Ereignis A ₁ : Ein Kunde kauft _ein Fernsehgerät einer Marke
Ereignis A ₂ : Ein Kunde kauft einen Fernseher der Marke Y → P(A ₂ )=0,50
Ereignis A ₃ : Ein Kunde kauft eine Fernsehmarke Z → P(A ₃ )=0,30

Darüber hinaus liefert uns die Übungsaussage auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fernseher jeder Marke defekt ist:

Ereignis B: Der Fernseher ist defekt

B|A ₁ : Bei einem Fernseher der Marke X ist der Fernseher defekt → P(B|A ₁ )=0,05
B|A ₂ : Bei einer Fernsehmarke Y ist das Fernsehgerät defekt → P(B|A ₂ )=0,03
B|A ₃ : Bei einem Fernseher der Marke Z ist der Fernseher defekt → P(B|A ₃ )=0,04

Somit ist der Wahrscheinlichkeitsbaum des Problems wie folgt:

Um also die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, einen defekten Fernseher zu kaufen, müssen wir die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeitsregel verwenden:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

In unserem Fall besteht der Probenraum aus drei Ereignissen (A ₁ , A ₂ und A ₃ ), daher lautet die Formel für den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz wie folgt:

$\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

Es reicht daher aus, die Wahrscheinlichkeiten des vorherigen Ausdrucks zu ersetzen, um die Wahrscheinlichkeit für den Kauf eines defekten Fernsehers zu ermitteln:

$\begin{aligned} P(B)&=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)\\[2ex]&=0,05\cdot 0,20+0,03\cdot 0,50+0,04\cdot 0,30\\[2ex]&=0,037\end{aligned}$

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Fernseher kaufen, bei 3,7 % liegt und dieser defekt ist.

Gesamtwahrscheinlichkeitssatz und Bayes-Theorem

Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz und der Satz von Bayes sind zwei wichtige Sätze in der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere weil sie es uns ermöglichen, Wahrscheinlichkeiten aus bedingten Wahrscheinlichkeitswerten zu berechnen.

Der Satz von Bayes ist ein Gesetz der Wahrscheinlichkeitstheorie, das zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verwendet wird, wenn a priori Informationen über dieses Ereignis bekannt sind.

Insbesondere hängen der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz und der Bayes-Satz zusammen. Tatsächlich entspricht der Nenner der Formel des Bayes-Theorems der Formel des Gesamtwahrscheinlichkeitssatzes.

Klicken Sie auf den folgenden Link, um den Satz von Bayes und Beispiele für seine Anwendung zu sehen:

➤ Siehe: Satz von Bayes

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen