Gesetz der gesamtwahrscheinlichkeit: definition und beispiele

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit eine nützliche Methode, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu ermitteln, wenn wir die Wahrscheinlichkeit von A nicht direkt kennen, aber wissen, dass die Ereignisse B ₁ , B ₂ , B ₃ … eine Partition bilden. des Probenraums S.

Dieses Gesetz legt Folgendes fest:

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit

Wenn B ₁ , B ₂ , B ₃ … eine Partition des Probenraums S bilden, können wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wie folgt berechnen:

P( A ) = ΣP( A | B _i )*P( B _i )

Der einfachste Weg, dieses Gesetz zu verstehen, besteht darin, ein einfaches Beispiel zu nehmen.

Angenommen, in einer Schachtel befinden sich zwei Beutel mit den folgenden Murmeln:

• Beutel 1: 7 rote Murmeln und 3 grüne Murmeln
• Beutel 2: 2 rote Murmeln und 8 grüne Murmeln

Wenn wir zufällig einen der Beutel auswählen und dann zufällig eine Murmel aus diesem Beutel auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine grüne Murmel handelt?

In diesem Beispiel sei P( G ) = Wahrscheinlichkeit, eine grüne Murmel zu wählen. Es ist die Wahrscheinlichkeit, die uns interessiert, aber wir können sie nicht direkt berechnen.

Stattdessen müssen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von G verwenden, wenn ein Ereignis B gegeben ist, bei dem die B _i eine Partition des Stichprobenraums S bilden. In diesem Beispiel haben wir die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten:

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0,3
• P(G| _B2 ) = 8/10 = 0,8

Mithilfe des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit können wir die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Murmel zu wählen, wie folgt berechnen:

• P(G) = ΣP(G|B _i )*P(B _i )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(G) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
• P(G) = 0,55

Wenn wir zufällig einen der Beutel auswählen und dann zufällig eine Murmel aus diesem Beutel auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine grüne Murmel auswählen, 0,55 .

Lesen Sie die folgenden zwei Beispiele, um Ihr Verständnis des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit zu festigen.

Beispiel 1: Widgets

Unternehmen A liefert 80 % der Bauteile an eine Autowerkstatt und nur 1 % seiner Bauteile erweisen sich als defekt. Unternehmen B liefert die restlichen 20 % der Widgets an die Autowerkstatt und 3 % seiner Widgets erweisen sich als defekt.

Wenn ein Kunde zufällig ein Widget in einer Autowerkstatt kauft, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist?

Wenn wir P( D ) = die Wahrscheinlichkeit, dass ein Widget defekt ist, und P(B _i ) die Wahrscheinlichkeit, dass das Widget von einem der Unternehmen stammt, dann können wir die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Widget zu kaufen, wie folgt berechnen:

• P(D) = ΣP(D|B _i )*P(B _i )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
• P(D) = 0,014

Wenn wir zufällig ein Widget in diesem Autohaus kaufen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist, 0,014 .

Beispiel 2: Wälder

Wald A nimmt 50 % der Gesamtfläche eines bestimmten Parks ein und 20 % der Pflanzen in diesem Wald sind giftig. Wald B nimmt 30 % der Gesamtfläche ein und 40 % der darin enthaltenen Pflanzen sind giftig. Wald C nimmt die restlichen 20 % des Territoriums ein und 70 % der dort vorkommenden Pflanzen sind giftig.

Wenn wir zufällig in diesen Park gehen und eine Pflanze vom Boden pflücken, wie wahrscheinlich ist es dann, dass sie giftig ist?

Wenn wir P( P ) = die Wahrscheinlichkeit, dass die Pflanze giftig ist, und P(B _i ) die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen der drei Wälder betreten haben, dann können wir die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Pflanze giftig ist, wie folgt berechnen:

• P(P) = ΣP(P|B _i )*P(B _i )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
• P(P) = 0,36

Wenn wir zufällig eine Pflanze aus dem Boden auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie giftig ist, 0,36 .

Zusätzliche Ressourcen

Die folgenden Tutorials bieten zusätzliche Informationen zu Wahrscheinlichkeitsthemen:

So ermitteln Sie den Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
So ermitteln Sie die Standardabweichung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilungsrechner