Bevölkerung vs. beispiel-standardabweichung: wann jeweils zu verwenden ist

Die Standardabweichung ist eine der gebräuchlichsten Methoden zur Messung der Werteverteilung in einem Datensatz.

Es stellt sich heraus, dass Sie abhängig von der Art der Daten, mit denen Sie arbeiten, zwei verschiedene Arten von Standardabweichungen berechnen können.

1. Populationsstandardabweichung

Sie sollten die Populationsstandardabweichung berechnen, wenn der Datensatz, mit dem Sie arbeiten, eine gesamte Population darstellt, also jeden Wert, der Sie interessiert.

Die Formel zur Berechnung einer Populationsstandardabweichung, bezeichnet mit σ, lautet:

σ = √ Σ(x _i – μ) ² / N

Gold:

• Σ : Ein Symbol, das „Summe“ bedeutet
• x _i : Der i- ^te Wert in einem Datensatz
• μ : Der Bevölkerungsdurchschnitt
• N : Bevölkerungsgröße

2. Beispiel einer Standardabweichung

Sie sollten die Stichprobenstandardabweichung berechnen, wenn der Datensatz, mit dem Sie arbeiten, eine Stichprobe aus einer größeren Population von Interesse darstellt.

Die Formel zur Berechnung einer Stichprobenstandardabweichung, bezeichnet mit s , lautet:

s = √ Σ(x _i – x̄) ² / (n – 1)

Gold:

• Σ : Ein Symbol, das „Summe“ bedeutet
• x _i : Der i- ^te Wert in einem Datensatz
• x̄ : Das Stichprobenmittel
• n : Die Stichprobengröße

Standardabweichung der Grundgesamtheit von der Stichprobe: die Differenz

Aus den obigen Formeln können wir erkennen, dass zwischen der Grundgesamtheit und der Stichprobenstandardabweichung ein kleiner Unterschied besteht: Bei der Berechnung der Stichprobenstandardabweichung haben wir durch n-1 statt durch N dividiert.

Der Grund dafür ist, dass wir bei der Berechnung der Stichprobenstandardabweichung dazu neigen, die tatsächliche Populationsvariabilität zu unterschätzen. Mit anderen Worten: Unsere Schätzung der wahren Populationsstandardabweichung ist verzerrt.*

Um diese Verzerrung zu korrigieren, dividieren wir durch n-1. Es hat sich gezeigt, dass die Stichprobenstandardabweichung dadurch zu einer unvoreingenommenen Schätzung der Grundgesamtheitsstandardabweichung wird.

*Der Beweis dafür würde den Rahmen dieses Artikels sprengen. Einen mathematischen Beweis finden Sie in diesem Stack Exchange-Artikel .

Bevölkerung vs. Beispiel-Standardabweichung: Wann jeweils zu verwenden ist

Verwenden Sie die folgenden Übungsaufgaben, um besser zu verstehen, wann Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheit gegenüber der Stichprobe verwenden sollten.

Übungsaufgabe 1: Sport

Angenommen, ein Basketballtrainer möchte den Durchschnitt und die Standardabweichung der von den 12 Spielern seiner Mannschaft erzielten Punkte zusammenfassen.

Sollte bei der Berechnung der Standardabweichung der erzielten Punkte die Grundgesamtheits- oder Stichprobenstandardabweichungsformel verwendet werden?

Antwort: Er muss die Populationsstandardabweichung verwenden, da er nur an den von seinen Spielern erzielten Punkten interessiert ist und nicht an den anderen Spielern einer anderen Mannschaft.

Übungsaufgabe 2: Höhe

Angenommen, ein Sportlehrer möchte den Mittelwert und die Standardabweichung der Körpergröße der Schüler seiner Klasse zusammenfassen.

Sollte bei der Berechnung der Standardabweichung der Körpergröße die Grundgesamtheits- oder Stichprobenstandardabweichungsformel verwendet werden?

Antwort: Es sollte die Populationsstandardabweichung verwendet werden, da es nur an der Größe der Schüler in dieser bestimmten Klasse interessiert.

Übungsaufgabe 3: Biologie

Angenommen, ein Biologe möchte den Mittelwert und die Standardabweichung des Gewichts einer bestimmten Schildkrötenart zusammenfassen. Sie beschließt, eine einfache Zufallsstichprobe von 20 Schildkröten aus der Population zu entnehmen.

Sollte sie bei der Berechnung der Standardabweichung der Gewichte die Grundgesamtheits- oder Stichprobenstandardabweichungsformel verwenden?

Antwort: Sie sollte die Standardabweichung der Stichprobe verwenden, da sie am Gewicht der gesamten Schildkrötenpopulation interessiert ist und nicht nur am Gewicht der Schildkröten in ihrer Stichprobe.

Übungsaufgabe 4: Fertigung

Angenommen, ein Inspektor möchte den Mittelwert und die Standardabweichung des Gewichts der in einer bestimmten Fabrik hergestellten Reifen zusammenfassen. Er beschließt, eine einfache Stichprobe von 40 Reifen aus der Fabrik zu entnehmen und jeden einzelnen zu wiegen.

Sollte bei der Berechnung der Standardabweichung der Gewichte die Grundgesamtheits- oder Stichprobenstandardabweichungsformel verwendet werden?

Antwort: Er sollte die Standardabweichung der Stichprobe verwenden, da er am Gewicht aller in diesem Werk hergestellten Reifen interessiert ist und nicht nur am Gewicht der Reifen in seiner Stichprobe.

Zusätzliche Ressourcen

Die folgenden Tutorials bieten zusätzliche Informationen zur Standardabweichung:

Warum ist die Standardabweichung wichtig?
Was gilt als gute Standardabweichung?
6 Beispiele für die Verwendung der Standardabweichung im wirklichen Leben
Variationskoeffizient versus Standardabweichung: die Differenz