Eine einführung in die hypergeometrische verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, aus einer endlichen Population der Größe N , die K Objekte mit dieser Eigenschaft enthält, k Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft in n Ziehungen ohne Ersatz auszuwählen.

Wenn eine Zufallsvariable X einer hypergeometrischen Verteilung folgt, kann die Wahrscheinlichkeit, k Objekte mit einem bestimmten Merkmal auszuwählen, mit der folgenden Formel ermittelt werden:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

Gold:

• N: Bevölkerungsgröße
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal
• n: Stichprobengröße
• k: Anzahl der Objekte im Beispiel mit einer bestimmten Funktionalität
• _K C _k : Anzahl der Kombinationen von K Dingen, die k gleichzeitig genommen werden

Beispielsweise gibt es in einem Standardkartenspiel mit 52 Karten vier Damen. Angenommen, wir wählen zufällig eine Karte aus einem Stapel aus und wählen dann ohne Ersatz zufällig eine andere Karte aus dem Stapel aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Damen sind?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Bevölkerungsgröße = 52 Karten
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 4 Königinnen
• n: Stichprobengröße = 2 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Stichprobe mit einem bestimmten Merkmal = 2 Königinnen

Wenn wir diese Zahlen in die Formel einsetzen, erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeit:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0,00452 .

Dies sollte intuitiv Sinn ergeben. Wenn Sie sich vorstellen, zwei Karten nacheinander aus einem Stapel zu ziehen, sollte die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei beiden Karten um Damen handelt, sehr gering sein.

Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung hat die folgenden Eigenschaften:

Der Mittelwert der Verteilung beträgt (nK) / N

Die Varianz der Verteilung beträgt (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

Probleme der hypergeometrischen Verteilungspraxis

Verwenden Sie die folgenden Übungsaufgaben, um Ihr Wissen über die hypergeometrische Verteilung zu testen.

Hinweis: Wir werden den Hypergeometrischen Verteilungsrechner verwenden, um die Antworten auf diese Fragen zu berechnen.

Problem 1

Frage: Angenommen, wir wählen zufällig vier Karten aus einem Stapel aus, ohne sie zu ersetzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der Karten Damen sind?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Bevölkerungsgröße = 52 Karten
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 4 Königinnen
• n: Stichprobengröße = 4 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Stichprobe mit einem bestimmten Merkmal = 2 Königinnen

Wenn wir diese Zahlen in den hypergeometrischen Verteilungsrechner eingeben, stellen wir fest, dass die Wahrscheinlichkeit 0,025 beträgt.

Problem 2

Frage: In einer Urne befinden sich 3 rote und 5 grüne Kugeln. Sie wählen zufällig 4 Bälle aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau 2 rote Kugeln auswählen?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Populationsgröße = 8 Bälle
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 3 rote Kugeln
• n: Stichprobengröße = 4 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Stichprobe mit einer bestimmten Eigenschaft = 2 rote Kugeln

Wenn wir diese Zahlen in den hypergeometrischen Verteilungsrechner eingeben, stellen wir fest, dass die Wahrscheinlichkeit 0,42857 beträgt.

Problem 3

Frage: Ein Korb enthält 7 lila Murmeln und 3 rosa Murmeln. Sie wählen zufällig 6 Murmeln aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau 3 rosa Murmeln auswählen?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Populationsgröße = 10 Murmeln
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 3 rosa Kugeln
• n: Stichprobengröße = 6 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Stichprobe mit einer bestimmten Eigenschaft = 3 rosa Kugeln

Wenn wir diese Zahlen in den hypergeometrischen Verteilungsrechner eingeben, stellen wir fest, dass die Wahrscheinlichkeit 0,16667 beträgt.