Hypothesenkontrast

Von Dr. Benjamin Anderson August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was Hypothesentests in der Statistik sind. Sie lernen also, wie man einen Hypothesentest durchführt, welche verschiedenen Arten von Hypothesentests es gibt und welche möglichen Fehler bei der Durchführung eines Hypothesentests gemacht werden können.

Was ist Hypothesentest?

Ein Hypothesentest ist ein Verfahren zur Ablehnung oder Zurückweisung einer statistischen Hypothese. Bei einem Hypothesentest beurteilen wir, ob der Wert eines Populationsparameters mit dem, was in einer Stichprobe dieser Population beobachtet wird, kompatibel ist.

Das heißt, bei einem Hypothesentest wird eine statistische Stichprobe analysiert und anhand der erhaltenen Ergebnisse entschieden, ob eine zuvor aufgestellte Hypothese abgelehnt oder akzeptiert werden soll.

Bedenken Sie, dass man aus Hypothesentests im Allgemeinen nicht mit völliger Sicherheit schließen kann, ob eine Hypothese wahr oder falsch ist, sondern dass eine Hypothese aufgrund der erzielten Ergebnisse einfach abgelehnt wird oder nicht. Beim Testen einer Hypothese kann also auch dann ein Fehler gemacht werden, wenn statistische Beweise dafür vorliegen, dass die getroffene Entscheidung am wahrscheinlichsten ist.

In der Statistik wird ein Hypothesentest auch als Hypothesentest , Hypothesentest oder Signifikanztest bezeichnet.

Die Theorie des Hypothesentests wurde vom englischen Statistiker Ronald Fisher aufgestellt und von Jerzy Neyman und Egon Pearson weiterentwickelt.

Nullhypothese und Alternativhypothese

Ein Hypothesentest besteht aus zwei Arten statistischer Hypothesen:

Nullhypothese (H ₀ ) : Dies ist die Hypothese, die besagt, dass die ursprüngliche Hypothese, die wir bezüglich eines Populationsparameters haben, falsch ist. Die Nullhypothese ist daher die Hypothese, die wir ablehnen möchten.
Alternativhypothese (H ₁ ) : ist die Forschungshypothese, deren Wahrheit bewiesen werden soll. Das heißt, die Alternativhypothese ist eine vorherige Hypothese des Forschers und um zu beweisen, dass sie wahr ist, wird die Kontrasthypothese durchgeführt.

In der Praxis wird die Alternativhypothese vor der Nullhypothese formuliert, da diese Hypothese durch die statistische Analyse einer Datenstichprobe bestätigt werden soll. Die Nullhypothese wird dann einfach durch Widerspruch zur Alternativhypothese formuliert.

Arten des Hypothesentests

Hypothesentests können in zwei verschiedene Typen eingeteilt werden:

Zweiseitiges Hypothesentesten (oder zweiseitiges Hypothesentesten) : Die Alternativhypothese des Hypothesentests besagt, dass sich der Populationsparameter von einem bestimmten Wert „unterscheidet“.
Einseitiger Hypothesentest (oder einseitiger Hypothesentest) : Die alternative Hypothese des Hypothesentests gibt an, dass der Populationsparameter „größer als“ (rechter Rand) oder „kleiner als“ (linker Rand) eines bestimmten Werts ist.

Zweiseitiger Hypothesentest

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

Einseitiger Hypothesentest (rechter Schwanz)

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“65″ width=“102″ style=“vertical-align: 0px;“></p> </p> </div> <div class=$

Einseitiges Hypothesentesten (linkes Ende)

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

Ablehnungsbereich und Akzeptanzbereich eines Hypothesentests

Wie wir weiter unten im Detail sehen werden, besteht das Testen von Hypothesen aus der Berechnung eines charakteristischen Werts für jede Art von Hypothesentest. Dieser Wert wird als Hypothesenteststatistik bezeichnet. Nachdem die Kontraststatistik berechnet wurde, muss daher beobachtet werden, in welcher der beiden folgenden Regionen sie sich befindet, um eine Schlussfolgerung zu ziehen:

Ablehnungsbereich (oder kritischer Bereich) : Dies ist der Bereich des Diagramms der Referenzverteilung des Hypothesentests, der die Ablehnung der Nullhypothese (und die Annahme der Alternativhypothese) beinhaltet.
Akzeptanzbereich : Dies ist der Bereich des Diagramms der Referenzverteilung des Hypothesentests, der die Akzeptanz der Nullhypothese (und die Ablehnung der Alternativhypothese) impliziert.

Kurz gesagt: Wenn die Teststatistik in den Ablehnungsbereich fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese akzeptiert. Wenn die Teststatistik hingegen in den Akzeptanzbereich fällt, wird die Nullhypothese akzeptiert und die Alternativhypothese abgelehnt.

Die Werte, die die Grenzen des Ablehnungsbereichs und des Akzeptanzbereichs festlegen, werden als kritische Werte bezeichnet. Ebenso wird das Werteintervall, das den Ablehnungsbereich definiert, als Konfidenzintervall bezeichnet. Und beide Werte hängen vom gewählten Signifikanzniveau ab.

➤ Siehe: Alpha-Signifikanzniveau

Andererseits kann die Entscheidung, die Nullhypothese abzulehnen oder zu akzeptieren, auch durch Vergleich des aus dem Hypothesentest erhaltenen p-Werts (bzw. p-Werts) mit dem gewählten Signifikanzniveau getroffen werden.

➤ Siehe: Was ist der p-Wert?

So führen Sie einen Hypothesentest durch

Um einen Hypothesentest durchzuführen, sollten die folgenden Schritte befolgt werden:

Geben Sie die Nullhypothese und die Alternativhypothese des Hypothesentests an.
Legen Sie das gewünschte Alpha (α)-Signifikanzniveau fest.
Berechnen Sie die Hypothesenkontraststatistik.
Bestimmt die kritischen Werte des Hypothesentests, um den Ablehnungsbereich und den Akzeptanzbereich des Hypothesentests zu kennen.
Beobachten Sie, ob die Hypothesenkontraststatistik im Ablehnungsbereich oder im Akzeptanzbereich liegt.
Wenn die Statistik in den Ablehnungsbereich fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt (und die Alternativhypothese akzeptiert). Wenn die Statistik jedoch in den Akzeptanzbereich fällt, wird die Nullhypothese akzeptiert (und die Alternativhypothese abgelehnt).

➤ Siehe: Hypothesentest für den Mittelwert
➤ Siehe: Hypothesentest zum Verhältnis
➤ Siehe: Hypothesentest auf Varianz

Fehler beim Testen von Hypothesen

Beim Testen von Hypothesen kann einer von zwei Fehlern gemacht werden, wenn eine Hypothese abgelehnt und die andere Testhypothese akzeptiert wird:

Fehler vom Typ I : Dies ist der Fehler, der gemacht wird, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie tatsächlich wahr ist.
Fehler vom Typ II : Dies ist der Fehler, der durch die Annahme der Nullhypothese entsteht, obwohl diese tatsächlich falsch ist.

Andererseits wird die Wahrscheinlichkeit, jede Art von Fehler zu begehen, wie folgt bezeichnet:

Alpha-Wahrscheinlichkeit (α) : ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ I zu begehen.
Beta-Wahrscheinlichkeit (β) : ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ II zu begehen.

In ähnlicher Weise ist die Aussagekraft des Hypothesentests definiert als die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese (H ₀ ) abzulehnen, wenn sie falsch ist, oder mit anderen Worten, sie ist die Wahrscheinlichkeit, die Alternativhypothese (H ₁ ) zu wählen, wenn sie wahr ist. Die Trennschärfe des Hypothesentests beträgt daher 1-β.

Statistiken zum Testen von Hypothesen

Die Statistik eines Hypothesentests ist der Wert der Referenzverteilung des Hypothesentests, der verwendet wird, um zu bestimmen, ob die Nullhypothese abgelehnt wird oder nicht. Wenn die Teststatistik in den Ablehnungsbereich fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt (und die Alternativhypothese akzeptiert). Wenn die Teststatistik hingegen in den Akzeptanzbereich fällt, wird die Nullhypothese akzeptiert (und die Alternativhypothese wird akzeptiert). abgelehnt).Alternativhypothese).

Die Berechnung der Hypothesenteststatistik hängt von der Art des Tests ab. Daher wird unten die Formel zur Berechnung der Statistik für jede Art von Hypothesentests angezeigt.

Hypothesentest für den Mittelwert

Die Formel für die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert mit bekannter Varianz lautet:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Gold:

$Z$

ist die Hypothesenkontraststatistik für den Mittelwert.
$\overline{x}$

ist das Beispielmittel.
$\mu$

ist der vorgeschlagene Durchschnittswert.
$\sigma$

ist die Populationsstandardabweichung.
$n$

ist die Stichprobengröße.

Sobald die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert berechnet ist, muss das Ergebnis interpretiert werden, um die Nullhypothese abzulehnen oder nicht:

Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert Z _α/2 ist.
Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert Z _α ist.
Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -Z _α ist.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

In diesem Fall werden die kritischen Werte aus der standardisierten Normalverteilungstabelle ermittelt.

Andererseits lautet die Formel für die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert mit unbekannter Varianz :

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Gold:

$t$

ist die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert, der durch die Student-t-Verteilung definiert wird.
$\overline{x}$

ist das Beispielmittel.
$\mu$

ist der vorgeschlagene Durchschnittswert.
$s$

ist die Standardabweichung der Stichprobe.
$n$

ist die Stichprobengröße.

Wie zuvor muss das berechnete Ergebnis der Teststatistik mit dem kritischen Wert interpretiert werden, um die Nullhypothese abzulehnen oder nicht:

Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert t _α/2|n-1 ist.
Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert t _α|n-1 ist.
Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -t _α|n-1 ist.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Wenn die Varianz unbekannt ist, werden die kritischen Testwerte aus der Student-Verteilungstabelle ermittelt.

Hypothesentest auf Proportionalität

Die Formel für die Hypothesenteststatistik für den Anteil lautet:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Gold:

$Z$

ist die Hypothesenteststatistik für den Anteil.
$\widehat{p}$

ist der Stichprobenanteil.
$p$

ist der vorgeschlagene Anteilswert.
$n$

ist die Stichprobengröße.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

ist die Standardabweichung des Anteils.

Beachten Sie, dass es nicht ausreicht, die Hypothesenteststatistik für den Anteil zu berechnen, sondern das Ergebnis anschließend interpretiert werden muss:

Wenn der Hypothesentest für den Anteil zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert Z _α/2 ist.
Wenn der Hypothesentest für den Anteil mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert Z _α ist.
Wenn der Hypothesentest für den Anteil mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -Z _α ist.

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Denken Sie daran, dass kritische Werte leicht aus der Standardnormalverteilungstabelle ermittelt werden können.

Hypothesentest auf Varianz

Die Formel zur Berechnung der Hypothesenteststatistik für Varianz lautet:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Gold:

$\chi^2$

ist die Hypothesenteststatistik für Varianz, die eine Chi-Quadrat-Verteilung aufweist.
$n$

ist die Stichprobengröße.
$s^2$

ist die Stichprobenvarianz.
$\sigma^2$

ist die Varianz der vorgeschlagenen Population.

Um das Ergebnis der Statistik zu interpretieren, muss der erhaltene Wert mit dem kritischen Wert des Tests verglichen werden.

Wenn der Hypothesentest auf Varianz zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert ist.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

oder wenn der kritische Wert kleiner ist als

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Wenn der Hypothesentest für die Varianz mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert ist
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Wenn der Hypothesentest auf Varianz mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert ist
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Die kritischen Hypothesentestwerte für die Varianz werden aus der Chi-Quadrat-Verteilungstabelle ermittelt. Beachten Sie, dass die Freiheitsgrade für die Chi-Quadrat-Verteilung der Stichprobengröße minus 1 entsprechen.

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

Was ist Hypothesentest?

Nullhypothese und Alternativhypothese

Arten des Hypothesentests

Ablehnungsbereich und Akzeptanzbereich eines Hypothesentests

So führen Sie einen Hypothesentest durch

Fehler beim Testen von Hypothesen

Statistiken zum Testen von Hypothesen

Hypothesentest für den Mittelwert

Hypothesentest auf Proportionalität

Hypothesentest auf Varianz

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Einen Kommentar hinzufügen