Hypothesentest auf unterschiede in den proportionen

Von Dr. Benjamin Anderson August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was Hypothesentests auf Proportionsunterschiede sind. Außerdem lernen Sie, wie Sie einen Hypothesentest zum Unterschied in den Proportionen durchführen, sowie eine Schritt-für-Schritt-Übung.

Was ist der Hypothesentest für den Unterschied in den Proportionen?

Beim Testen der Proportionaldifferenz-Hypothese handelt es sich um eine Methode, mit der die Hypothese, dass die Proportionen zweier Populationen unterschiedlich sind, abgelehnt oder akzeptiert wird. Das heißt, der Differenz-in-Proportions-Hypothesetest wird verwendet, um zu bestimmen, ob zwei Bevölkerungsanteile gleich sind oder nicht.

Beachten Sie, dass Entscheidungen, die bei Hypothesentests getroffen werden, auf einem zuvor festgelegten Konfidenzniveau basieren. Daher kann nicht garantiert werden, dass das Ergebnis eines Hypothesentests immer korrekt ist, sondern vielmehr, dass es sich um das wahrscheinlichste Ergebnis handelt, das wahr ist.

➤ Siehe: Wie hoch ist das Vertrauen? (Statistiken)

Beim Hypothesentest auf die Differenz zweier Anteile wird die Teststatistik berechnet und mit dem kritischen Wert verglichen, um die Nullhypothese abzulehnen oder nicht. Im Folgenden erklären wir im Detail, wie man einen Hypothesentest zum Unterschied in den Proportionen durchführt.

Denken Sie schließlich daran, dass Hypothesentests in der Statistik auch als Hypothesenkontraste, Hypothesentests oder Signifikanztests bezeichnet werden können.

➤ Siehe: Hypothesentest für die Mittelwertdifferenz

Hypothesentestformel für Proportionsunterschiede

Die Formel zur Berechnung der Hypothesenteststatistik für den Unterschied in den Anteilen zweier Populationen lautet:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Gold:

$Z$

ist die Hypothesenteststatistik für den Unterschied in den Proportionen.
$p_1$

ist der Bevölkerungsanteil 1.
$p_2$

ist der Bevölkerungsanteil 2.
$\widehat{p_1}$

ist der Anteil von Probe 1.
$\widehat{p_2}$

ist Stichprobenanteil 2.
$n_1$

ist Stichprobengröße 1.
$n_2$

ist Stichprobengröße 2.
$p_0$

ist der kombinierte Anteil der beiden Stichproben.

Das kombinierte Verhältnis der beiden Stichproben wird wie folgt berechnet:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Gold

$x_i$

ist die Anzahl der Ergebnisse in der Stichprobe iy

$n_i$

ist die Stichprobengröße i.

➤ Siehe: Konfidenzintervall für Proportionsunterschiede

Konkretes Beispiel für den Hypothesentest auf Unterschiede in den Proportionen

Um zu verdeutlichen, was das Testen von Hypothesen für den Unterschied in den Proportionen beinhaltet, wird unten ein Schritt-für-Schritt-Lösungsbeispiel für diese Art des Hypothesentests gezeigt.

Wir wollen analysieren, ob es einen signifikanten Unterschied in der Wirkung zweier Medikamente gibt, die gegen dieselbe Krankheit eingesetzt werden. Dazu wird eines der Medikamente bei einer Stichprobe von 60 Patienten angewendet und 48 Menschen werden geheilt. Andererseits wird das andere Medikament bei einer Stichprobe von 65 Patienten angewendet und 55 werden geheilt. Führen Sie einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von 5 % durch, um festzustellen, ob der Prozentsatz der durch jedes Medikament geheilten Menschen unterschiedlich ist.

Die Testhypothese für dieses Problem besteht aus der folgenden Nullhypothese und Alternativhypothese:

$\begin{cases}H_0: p_1-p_2=0\\[2ex] H_1:p_1-p_2\neq 0 \end{cases}$

Zunächst berechnen wir den Anteil jeder Stichprobe, indem wir die Anzahl erfolgreicher Fälle durch die Stichprobengröße dividieren:

$\widehat{p_1}=\cfrac{48}{60}=0,80$

$\widehat{p_1}=\cfrac{55}{65}=0,85$

Wir ermitteln dann den kombinierten Anteil der beiden Stichproben:

$p_0=\cfrac{48+55}{60+65}=0,82$

Als nächstes wenden wir die Hypothesentestformel für den Unterschied in den Proportionen an, um die Teststatistik zu berechnen:

$\begin{aligned}\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (0,80-0,85)-0}{\displaystyle \sqrt{0,82\cdot(1-0,82)\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{65}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=-0,73 \end{aligned}$

Im Gegensatz dazu suchen wir in Tabelle Z nach dem kritischen Wert des Hypothesentests. Da das Signifikanzniveau 0,05 beträgt und es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest handelt, beträgt der kritische Wert des Tests 1,96.

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

Wenn der absolute Wert der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, wird die Alternativhypothese abgelehnt und die Nullhypothese des Tests akzeptiert.

$|-0,73|=0,73<1,96 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

➤ Siehe: Stichprobenverteilung der Differenz in Proportionen

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

Was ist der Hypothesentest für den Unterschied in den Proportionen?

Hypothesentestformel für Proportionsunterschiede

Konkretes Beispiel für den Hypothesentest auf Unterschiede in den Proportionen

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