Schätzintervall

Von August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was Intervallschätzung in der Statistik ist. Außerdem erfahren Sie, wie die Intervallschätzung durchgeführt wird und wie sich die Intervallschätzung von der Punktschätzung unterscheidet.

Was ist eine Intervallschätzung?

In der Statistik ist die Intervallschätzung ein Prozess, bei dem der Wert eines Populationsparameters anhand eines Intervalls geschätzt wird. Genauer gesagt beinhaltet die Intervallschätzung die Berechnung des Intervalls, in dem der Parameterwert mit einem bestimmten Konfidenzniveau am wahrscheinlichsten gefunden wird.

Wenn wir beispielsweise bei einer Intervallschätzung zu dem Schluss kommen, dass das Konfidenzintervall für den Grundgesamtheitsmittelwert (3,7) mit einem Konfidenzniveau von 95 % beträgt, bedeutet dies, dass der Mittelwert der untersuchten Grundgesamtheit zwischen 3 und 7 mit a liegen wird Wahrscheinlichkeit von 95 %.

Im Allgemeinen ist die Größe einer Population zu groß, um alle ihre Individuen zu untersuchen, sodass der Wert ihrer statistischen Messungen nicht mit Sicherheit bekannt sein kann, sondern eher eine Annäherung darstellt.

Daher wird die Intervallschätzung verwendet, um auf der Grundlage von Stichprobendaten eine Annäherung an den Wertebereich zu liefern, zwischen dem der Populationsparameter liegt. Auf diese Weise kann der Wert des Populationsparameters anhand der untersuchten Daten einer Stichprobe geschätzt werden.

Um schließlich die Bedeutung der Intervallschätzung vollständig zu verstehen, müssen Sie sich über das Konzept des Konfidenzintervalls im Klaren sein. Ein Konfidenzintervall ist das Intervall, das mit einer Fehlermarge eine Annäherung an die Werte liefert, zwischen denen der Wert eines Populationsparameters liegt. Daher ist das Konfidenzintervall das Ergebnis einer Intervallschätzung.

Formeln zur Intervallschätzung

Nachfolgend finden Sie die verschiedenen Formeln zur Schätzung der Konfidenzintervalle, denn je nachdem, ob Sie das Konfidenzintervall für den Mittelwert, für die Varianz oder für den Anteil schätzen möchten, ist die zu verwendende Formel unterschiedlich.

Konfidenzintervall für den Mittelwert

Angenommen, die Eingabe einer Variablen läuft wie folgt ab:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

Das Konfidenzintervall für den Mittelwert wird berechnet, indem der Wert von Z α/2 mit der Standardabweichung (σ) multipliziert und durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße (n) dividiert und vom Stichprobenmittelwert subtrahiert wird. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls des Mittelwerts:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Für große Stichprobengrößen und ein Konfidenzniveau von 95 % beträgt der kritische Wert Z α/2 = 1,96 und für ein Konfidenzniveau von 99 % beträgt der kritische Wert Z α/2 = 2,576.

Die obige Formel wird verwendet, wenn die Populationsvarianz bekannt ist. Wenn jedoch die Populationsvarianz unbekannt ist, was am häufigsten der Fall ist, wird das Konfidenzintervall für den Mittelwert anhand der folgenden Formel berechnet:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Gold:

  • \overline{x}

    ist das Beispielmittel.

  • t_{\alpha/2}

    ist der Wert der Student-t-Verteilung von n-1 Freiheitsgraden mit einer Wahrscheinlichkeit von α/2.

  • s

    ist die Standardabweichung der Stichprobe.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

Konfidenzintervall

Konfidenzintervall für Varianz

Zur Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz einer Grundgesamtheit wird die Chi-Quadrat-Verteilung verwendet. Genauer gesagt lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz :

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Gold:

  • n

    ist die Stichprobengröße.

  • s

    ist die Standardabweichung der Stichprobe.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    ist der Wert der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden für eine Wahrscheinlichkeit kleiner als α/2.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    ist der Wert der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden für eine Wahrscheinlichkeit größer als 1-α/2.

Konfidenzintervall für Proportionen

Das Konfidenzintervall für den Anteil wird berechnet, indem der Wert von Z α/2 , multipliziert mit der Quadratwurzel des Stichprobenanteils (p), multipliziert mit 1-p, addiert und vom Stichprobenanteil subtrahiert und durch die Stichprobengröße (n) dividiert wird. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls für den Anteil :

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Gold:

  • p

    ist der Stichprobenanteil.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

  • Z_{\alpha/2}

    ist das Quantil der Standardnormalverteilung, das einer Wahrscheinlichkeit von α/2 entspricht. Bei großen Stichprobengrößen und einem Konfidenzniveau von 95 % liegt er normalerweise nahe bei 1,96 und bei einem Konfidenzniveau von 99 % normalerweise nahe bei 2,576.

Intervallschätzung und Punktschätzung

Abschließend werden wir sehen, was die Unterschiede zwischen der Intervallschätzung und der Punktschätzung sind, da der Wert eines Populationsparameters mithilfe eines Intervalls (wie wir im gesamten Artikel gesehen haben) oder mithilfe eines Punktwerts geschätzt werden kann.

Der Unterschied zwischen Intervallschätzung und Punktschätzung besteht im Wertebereich, der bei der Parameterschätzung verwendet wird. Bei der Intervallschätzung wird ein Parameter einem Konfidenzintervall angenähert, während bei der Punktschätzung der Parameter einem bestimmten Wert angenähert wird.

Daher wird bei der Punktschätzung ein einzelner Wert, der aus den Stichprobendaten berechnet wird, als Näherungswert für den Populationsparameterwert betrachtet. Beispielsweise kann der Bevölkerungsmittelwert mithilfe des Stichprobenmittelwerts genau geschätzt werden.

Somit hat die Punktschätzung Vor- und Nachteile gegenüber der Intervallschätzung, sodass jede Art der Schätzung für den Einsatz in einer bestimmten Situation geeignet ist. Um mehr zu erfahren, klicken Sie auf den folgenden Link:

Über den Autor

Benjamin Anderson
Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

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