Konfidenzintervall

Von August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was ein Konfidenzintervall in der Statistik ist und wofür es verwendet wird. Außerdem erfahren Sie, welche Faktoren Einfluss auf Konfidenzintervalle haben und wie ein Konfidenzintervall berechnet wird.

Was ist ein Konfidenzintervall?

In der Statistik ist das Konfidenzintervall ein Intervall, das eine Annäherung an die Werte liefert, zwischen denen der Wert eines Populationsparameters mit einem bestimmten Konfidenzniveau verknüpft ist. Die gängigsten Konfidenzintervalle haben ein Konfidenzniveau von 95 % oder 99 %.

Wenn beispielsweise das Konfidenzintervall für den Mittelwert einer Grundgesamtheit mit einem Konfidenzniveau von 95 % (3,7) beträgt, bedeutet dies, dass der Mittelwert der untersuchten Grundgesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zwischen 3 und 7 liegen wird.

Daher wird das Konfidenzintervall verwendet, um zwei Werte zu schätzen, zwischen denen ein Populationsparameter liegt. Im Allgemeinen sind die Werte der Populationsparameter unbekannt, daher wird aus den Daten einer Stichprobe ein Konfidenzintervall berechnet, um eine Schätzung der Populationsparameter zu erhalten.

Faktoren, die das Konfidenzintervall beeinflussen

Sobald wir die Definition des Konfidenzintervalls gesehen haben, werden wir sehen, von welchen Faktoren die Konfidenzintervalle abhängen, um das Konzept besser zu verstehen.

  • Stichprobengröße : Die Anzahl der untersuchten Beobachtungen beeinflusst die Präzision des Konfidenzintervalls, denn je mehr Daten wir haben, desto besser kann ein Wert geschätzt werden. Im Allgemeinen gilt: Je größer die Stichprobe, desto kleiner die Breite des Konfidenzintervalls.
  • Fehlerspanne : Je größer der zulässige Fehler, desto größer das Konfidenzintervall und desto wahrscheinlicher ist es daher, dass der wahre Wert des Parameters innerhalb des Konfidenzintervalls liegt. Allerdings verringert die Fehlerspanne die Genauigkeit des Konfidenzintervalls.
  • Konfidenzniveau : ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schätzung der Bevölkerungsstatistik innerhalb des Konfidenzintervalls liegt. Typischerweise wird das Konfidenzniveau eines Intervalls als 1-α angegeben und als Prozentsatz ausgedrückt. Ein hohes Konfidenzniveau erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert zwischen den Intervallgrenzen liegt, vergrößert aber auch die Breite des Intervalls.
  • Der geschätzte Parameter : Das Konfidenzintervall hängt vom zu approximierenden Parameter ab. Tatsächlich hängt die zur Berechnung des Konfidenzintervalls zu verwendende Formel vom Näherungsparameter ab.

So berechnen Sie das Konfidenzintervall

Die zur Berechnung der einzelnen Arten von Konfidenzintervallen anzuwendende Formel wird unten dargestellt, denn je nachdem, ob wir das Konfidenzintervall für den Mittelwert, die Varianz oder den Anteil bestimmen möchten, ist die zu verwendende Formel unterschiedlich.

Konfidenzintervall für den Mittelwert

Ausgehend von der Tatsache, dass die Eingabe einer Variablen wie folgt erfolgt:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

Das Konfidenzintervall für den Mittelwert wird berechnet, indem der Wert von Z α/2 mit der Standardabweichung (σ) multipliziert und durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße (n) dividiert und vom Stichprobenmittelwert subtrahiert wird. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls des Mittelwerts:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Für große Stichprobengrößen und ein Konfidenzniveau von 95 % beträgt der kritische Wert Z α/2 = 1,96 und für ein Konfidenzniveau von 99 % beträgt der kritische Wert Z α/2 = 2,576.

Die obige Formel wird verwendet, wenn die Populationsvarianz bekannt ist. Wenn jedoch die Populationsvarianz unbekannt ist, was am häufigsten der Fall ist, wird das Konfidenzintervall für den Mittelwert anhand der folgenden Formel berechnet:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Gold:

  • \overline{x}

    ist das Beispielmittel.

  • t_{\alpha/2}

    ist der Wert der Student-t-Verteilung von n-1 Freiheitsgraden mit der Wahrscheinlichkeit α/2.

  • s

    ist die Standardabweichung der Stichprobe.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

Konfidenzintervall

Konfidenzintervall für Varianz

Zur Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz einer Grundgesamtheit wird die Chi-Quadrat-Verteilung verwendet. Genauer gesagt lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz :

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Gold:

  • n

    ist die Stichprobengröße.

  • s

    ist die Standardabweichung der Stichprobe.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    ist der Wert der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden für eine Wahrscheinlichkeit kleiner als α/2.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    ist der Wert der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden für eine Wahrscheinlichkeit größer als 1-α/2.

Konfidenzintervall für Proportionen

Das Konfidenzintervall für den Anteil wird berechnet, indem der Wert von Z α/2 , multipliziert mit der Quadratwurzel des Stichprobenanteils (p), multipliziert mit 1-p, addiert und vom Stichprobenanteil subtrahiert und durch die Stichprobengröße (n) dividiert wird. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls für den Anteil :

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Gold:

  • p

    ist der Stichprobenanteil.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

  • Z_{\alpha/2}

    ist das Quantil der Standardnormalverteilung, das einer Wahrscheinlichkeit von α/2 entspricht. Bei großen Stichprobengrößen und einem Konfidenzniveau von 95 % liegt er normalerweise nahe bei 1,96 und bei einem Konfidenzniveau von 99 % normalerweise nahe bei 2,576.

Über den Autor

Benjamin Anderson
Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

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