Konfidenzintervall für den mittelwert

Von Dr. Benjamin Anderson August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was das Konfidenzintervall für den Mittelwert in der Statistik ist und wofür es verwendet wird. Ebenso erfahren Sie, wie Sie das Konfidenzintervall des Mittelwerts berechnen, sowie eine Schritt-für-Schritt-Übung.

Was ist das Konfidenzintervall des Mittelwerts?

Das Konfidenzintervall für den Mittelwert ist ein Intervall, das einen Bereich zulässiger Werte für den Mittelwert einer Grundgesamtheit liefert. Mit anderen Worten: Das Konfidenzintervall für den Mittelwert gibt uns einen Maximalwert und einen Minimalwert an, zwischen denen der Wert des Grundgesamtheitsmittelwerts mit einer Fehlermarge verknüpft ist.

Wenn beispielsweise das 95 %-Konfidenzintervall für einen Grundgesamtheitsmittelwert (6,10) beträgt, bedeutet dies, dass der Grundgesamtheitsmittelwert in 95 % der Fälle zwischen 6 und 10 liegt.

Daher wird das Konfidenzintervall des Mittelwerts verwendet, um zwei Werte zu schätzen, zwischen denen ein Populationsmittelwert liegt. Daher ist das Konfidenzintervall des Mittelwerts sehr nützlich, um den Mittelwert einer Grundgesamtheit anzunähern, wenn alle ihre Werte unbekannt sind.

Konfidenzintervallformel für den Mittelwert

Angenommen, die Eingabe einer Variablen läuft wie folgt ab:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Das Konfidenzintervall für den Mittelwert wird berechnet, indem der Wert von Z _α/2 mit der Standardabweichung (σ) multipliziert und durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße (n) dividiert und vom Stichprobenmittelwert subtrahiert wird. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls des Mittelwerts:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Für große Stichprobengrößen und ein Konfidenzniveau von 95 % beträgt der kritische Wert Z _α/2 = 1,96 und für ein Konfidenzniveau von 99 % beträgt der kritische Wert Z _α/2 = 2,576.

Die obige Formel wird verwendet, wenn die Populationsvarianz bekannt ist. Wenn die Populationsvarianz jedoch unbekannt ist, was am häufigsten der Fall ist, wird das Konfidenzintervall des Mittelwerts anhand der folgenden Formel berechnet:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Gold:

$\overline{x}$

ist das Beispielmittel.
$t_{\alpha/2}$

ist der Wert der Student-t-Verteilung von n-1 Freiheitsgraden mit einer Wahrscheinlichkeit von α/2.
$s$

ist die Stichprobenstandardabweichung.
$n$

ist die Stichprobengröße.

Beispiel für die Berechnung eines Konfidenzintervalls für den Mittelwert

Damit Sie sehen können, wie das Konfidenzintervall für den Mittelwert einer Grundgesamtheit berechnet wird, hinterlassen wir Ihnen unten ein Beispiel, das Schritt für Schritt gelöst wird.

Wir haben eine Stichprobe von 8 Beobachtungen mit den unten gezeigten Werten. Wie groß ist das Konfidenzintervall der Grundgesamtheit bei einem Konfidenzniveau von 95 %?

206 203 201 212
194 176 208 201

Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, lautet die Formel zum Erhalten des Konfidenzintervalls eines Populationsmittelwerts, wenn wir die Populationsstandardabweichung nicht kennen, wie folgt:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Um also das Konfidenzintervall des Mittelwerts zu bestimmen, müssen wir zunächst den Stichprobenmittelwert und die Standardabweichung berechnen.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Siehe: Rechner für arithmetische Mittel
➤ Siehe: Standardabweichungsrechner

Da wir das Konfidenzintervall mit einem Konfidenzniveau von 1-α=95 % ermitteln möchten und die Stichprobengröße 8 beträgt, müssen wir auf die Student-t-Verteilungstabelle zugreifen und sehen, welcher Wert t _0,025|7 entspricht.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Siehe: Werte der Student-t-Verteilungstabelle

Daher wenden wir die Konfidenzintervallformel für den Mittelwert an und führen die Berechnungen durch, um die Grenzen des Intervalls zu ermitteln:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

Zusammenfassend sagt uns das berechnete Konfidenzintervall, dass bei einem Konfidenzniveau von 95 % der Bevölkerungsmittelwert zwischen 190,82 und 209,43 liegen wird.

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

Was ist das Konfidenzintervall des Mittelwerts?

Konfidenzintervallformel für den Mittelwert

Beispiel für die Berechnung eines Konfidenzintervalls für den Mittelwert

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