Konfidenzintervall für unterschiede in den proportionen

Von Dr. Benjamin Anderson August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was das Konfidenzintervall für die Differenz der Proportionen in der Statistik ist und wofür es verwendet wird. Außerdem erfahren Sie, wie Sie das Konfidenzintervall für die Differenz zweier Proportionen berechnen, und eine Schritt-für-Schritt-Übung.

Was ist das Konfidenzintervall für den Unterschied in den Proportionen?

Das Konfidenzintervall für Proportionsunterschiede ist ein Intervall, das einen Bereich akzeptabler Werte angibt, zwischen denen der Wert der Differenz zwischen den Proportionen zweier Populationen mit einem bestimmten Konfidenzniveau liegt.

Wenn beispielsweise das Konfidenzintervall für die Differenz zwischen den Anteilen zweier Grundgesamtheiten bei einem Konfidenzniveau von 95 % (0,07, 15) beträgt, bedeutet dies, dass die Differenz zwischen den beiden Grundgesamtheitsanteilen mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen 7 % und 15 % liegt von 95 %.

Daher wird in der Statistik das Konfidenzintervall für den Anteilsunterschied verwendet, um zwei Werte zwischen zwei Werten zu schätzen, die den Unterschied zwischen zwei Bevölkerungsanteilen miteinander verbinden. Daher werden zwei Stichproben entnommen und anhand dieser Daten ist es möglich, den Unterschied zwischen den Anteilen der Populationen näherungsweise abzuschätzen.

➤ Siehe: Konfidenzintervall für die Differenz der Mittelwerte

Konfidenzintervallformel für Unterschiede in den Proportionen

Die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls für die Differenz der Anteile mit einem Konfidenzniveau von 1-α lautet wie folgt:

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

Gold:

$\widehat{p_i}$

ist der Stichprobenanteil i.
$n_i$

ist die Stichprobengröße i.
$Z_{\alpha/2}$

ist das Quantil der Standardnormalverteilung, das einer Wahrscheinlichkeit von α/2 entspricht. Bei großen Stichprobengrößen und einem Konfidenzniveau von 95 % liegt er normalerweise nahe bei 1,96 und bei einem Konfidenzniveau von 99 % normalerweise nahe bei 2,576.

➤ Siehe: Konfidenzintervallformel für Proportionen

Konkretes Beispiel für ein Konfidenzintervall für Proportionsunterschiede

Nachdem wir die Definition des Konfidenzintervalls für den Unterschied in den Proportionen und seine Formel kennengelernt haben, werden wir ein konkretes Beispiel dafür sehen, wie das Konfidenzintervall für den Unterschied in den Proportionen berechnet wird.

Wir wollen eine statistische Studie über den Anteil der Linkshänder machen, genauer gesagt, wir wollen den Unterschied zwischen den Anteilen der Linkshänder zwischen Männern und Frauen kennen. Hierzu werden eine Stichprobe von 60 Männern und eine Stichprobe von 67 Frauen herangezogen, davon sind 5 Männer und 7 Frauen Linkshänder. Was ist das Konfidenzintervall für den Unterschied in den Proportionen bei einem Konfidenzniveau von 95 %?

Zunächst müssen wir den Anteil der Linkshänder für jede statistische Stichprobe berechnen:

$\widehat{p_1}=\cfrac{5}{60}=0,083$

$\widehat{p_2}=\cfrac{7}{67}=0,104$

Wie wir im obigen Abschnitt gesehen haben, lautet die Formel zur Bestimmung des Konfidenzintervalls für die Differenz der Proportionen:

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

Um das Konfidenzintervall für die Proportionsdifferenz zu ermitteln, müssen wir den Wert von Z _α /2 bestimmen. Dazu verwenden wir die Standard-Normalverteilungstabelle .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

Abschließend setzen wir die Daten in die Formel ein und berechnen das Konfidenzintervall für die Differenz der Proportionen:

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

$\displaystyle (0,083-0,104)\pm 1,96\cdot \sqrt{\frac{0,083\cdot(1-0,083)}{60}+\frac{0,104\cdot(1-0,104)}{67}}$

$\displaystyle -0,021\pm 0,101$

Kurz gesagt ist das Konfidenzintervall für den Unterschied in den Problemanteilen:

$(-0,122 \ , \ 0,08)$

➤ Siehe: Hypothesentest auf Unterschiede in den Proportionen

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

Was ist das Konfidenzintervall für den Unterschied in den Proportionen?

Konfidenzintervallformel für Unterschiede in den Proportionen

Konkretes Beispiel für ein Konfidenzintervall für Proportionsunterschiede

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