Kontraststatistik

Von August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erläutert, was eine Kontraststatistik ist, welche Formeln für Kontraststatistiken am häufigsten verwendet werden und außerdem die Beziehung zwischen Kontraststatistik, Ablehnungsbereich und Akzeptanzbereich.

Was ist die Kontraststatistik?

Die Kontraststatistik ist eine Variable mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung im Zusammenhang mit der Studienhypothese. Insbesondere wird die Kontraststatistik beim Hypothesentest verwendet, um die Nullhypothese abzulehnen oder zu akzeptieren.

Tatsächlich basiert die Entscheidung, ob die Nullhypothese eines Hypothesentests abgelehnt wird oder nicht, auf dem Wert der Teststatistik. Wenn der Wert der Teststatistik in den Ablehnungsbereich fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt. wohingegen die Nullhypothese akzeptiert wird, wenn der Wert der Teststatistik in den Akzeptanzbereich fällt.

Kontraststatistikformeln

Abhängig von der Art des Hypothesentests ist die Verteilung der Teststatistik unterschiedlich. Die Formel für die Teststatistik hängt daher auch von der Art der Hypothesenprüfung ab. Als nächstes werden wir sehen, wie die Teststatistik abhängig von der Art des Hypothesentests berechnet wird.

Kontraststatistik für den Durchschnitt

Die Formel für die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert mit bekannter Varianz lautet:

\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

Gold:

  • Z

    ist die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert.

  • \overline{x}

    ist das Beispielmittel.

  • \mu

    ist der vorgeschlagene Durchschnittswert.

  • \sigma

    ist die Populationsstandardabweichung.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

Sobald die Hypothesenkontraststatistik für den Mittelwert berechnet ist, sollte das Ergebnis so interpretiert werden, dass die Nullhypothese abgelehnt oder abgelehnt wird:

  • Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert Z α/2 ist.
  • Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert Z α ist.
  • Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -Z α ist.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

In diesem Fall werden die kritischen Werte aus der standardisierten Normalverteilungstabelle ermittelt.

Andererseits lautet die Formel für die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert mit unbekannter Varianz :

\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}

Gold:

  • t

    ist die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert, der durch die Student-t-Verteilung definiert wird.

  • \overline{x}

    ist das Beispielmittel.

  • \mu

    ist der vorgeschlagene Durchschnittswert.

  • s

    ist die Standardabweichung der Stichprobe.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

Wie zuvor muss das berechnete Ergebnis der Kontraststatistik mit dem kritischen Wert interpretiert werden, um die Nullhypothese abzulehnen oder nicht:

  • Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert t α/2|n-1 ist.
  • Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert t α|n-1 ist.
  • Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -t α|n-1 ist.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Wenn die Varianz unbekannt ist, werden die kritischen Testwerte aus der Student-Verteilungstabelle ermittelt.

Kontraststatistik für Proportionen

Die Formel für die Hypothesenteststatistik für den Anteil lautet:

\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}

Gold:

  • Z

    ist die Hypothesenteststatistik für den Anteil.

  • \widehat{p}

    ist der Stichprobenanteil.

  • p

    ist der vorgeschlagene Anteilswert.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

  • \displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

    ist die Standardabweichung des Anteils.

Beachten Sie, dass es nicht ausreicht, die Hypothesenteststatistik für den Anteil zu berechnen, sondern das Ergebnis anschließend interpretiert werden muss:

  • Wenn der Hypothesentest für den Anteil zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert Z α/2 ist.
  • Wenn der Hypothesentest für den Anteil mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert Z α ist.
  • Wenn der Hypothesentest für den Anteil mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -Z α ist.

\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Denken Sie daran, dass kritische Werte leicht aus der Standardnormalverteilungstabelle ermittelt werden können.

Kontraststatistik für Varianz

Die Formel zur Berechnung der Hypothesenteststatistik für Varianz lautet:

\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}

Gold:

  • \chi^2

    ist die Hypothesenteststatistik für Varianz, die eine Chi-Quadrat-Verteilung aufweist.

  • n

    ist die Stichprobengröße.

  • s^2

    ist die Stichprobenvarianz.

  • \sigma^2

    ist die Varianz der vorgeschlagenen Grundgesamtheit.

Um das Ergebnis der Statistik zu interpretieren, muss der erhaltene Wert mit dem kritischen Wert des Tests verglichen werden.

  • Wenn der Hypothesentest auf Varianz zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert ist.

    \chi_{1-\alpha/2|n-1}^2

    oder wenn der kritische Wert kleiner ist als

    \chi_{\alpha/2|n-1}

    .

  • Wenn der Hypothesentest für die Varianz mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert ist

    \chi_{1-\alpha|n-1}^2

    .

  • Wenn der Hypothesentest auf Varianz mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert ist

    \chi_{\alpha|n-1}

    .

\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}

Die kritischen Hypothesentestwerte für die Varianz werden aus der Chi-Quadrat-Verteilungstabelle ermittelt. Beachten Sie, dass die Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Verteilung der Stichprobengröße minus 1 entsprechen.

Kontraststatistik, Ablehnungsbereich und Akzeptanzbereich

In einem Hypothesentest ist der Ablehnungsbereich der Bereich des Diagramms der Verteilung der Teststatistik, der die Ablehnung der Nullhypothese (und die Akzeptanz der Alternativhypothese) impliziert. Andererseits ist der Akzeptanzbereich der Bereich des Verteilungsdiagramms der Teststatistik, der die Akzeptanz der Nullhypothese (und die Ablehnung der Alternativhypothese) impliziert.

Somit bestimmt der Wert der Kontraststatistik das Ergebnis eines Hypothesentests auf folgende Weise:

  • Wenn die Teststatistik in den Ablehnungsbereich fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese akzeptiert.
  • Wenn die Teststatistik in den Akzeptanzbereich fällt, wird die Nullhypothese akzeptiert und die Alternativhypothese abgelehnt.

Die Werte, die den Ablehnungsbereich vom Akzeptanzbereich trennen, werden als kritische Werte bezeichnet. Daher müssen wir die kritischen Werte berechnen, um die Grenzen des Ablehnungsbereichs und des Akzeptanzbereichs zu kennen und somit zu wissen, wann wir die Nullhypothese ablehnen und wann wir sie akzeptieren müssen.

➤ Siehe: Kritischer Wert

Über den Autor

Benjamin Anderson
Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

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